3. Второй способ приближенного построения многочлена наилучшего приближения.

Этот способ состоит в следующем. За начальное приближение многочлена наилучшего приближения к непрерывной функции на отрезке в берется некоторый многочлен такой, что на отрезке должна существовать система из точек в которых разность имеет чередующиеся знаки. Исследуя на экстремум функцию находим такую комбинацию точек

на которой имеет чередующиеся знаки при возрастании от 1 до а наибольшее и наименьшее значения соответственно равны где наилучшая нижняя граница для которую можно получить из исследования как говорилось в начале этого параграфа.

Многочлен целесообразно строить как многочлен наилучшего приближения к функции на множестве точек

(Это — точки, соответствующие точкам экстремума многочлена Чебышева на отрезке если с помощью преобразования преобразовать в отрезок Далее, ищется поправка к этому многочлену как многочлен наилучшего приближения в к функции на множестве точек Значения

многочлена в точках определяются из системы

где

Найдя получим первое приближение многочлена наилучшего приближения:

Исследуя на экстремум функцию

находим множество точек

в которых имеет чередующиеся знаки, а наибольшее и наименьшее значения среди равны соответственно имеют такой же смысл для что и для Затем строим многочлен наилучшего приближения к функции на множестве используя (38) и (39) с заменой на Многочлен будет следующим приближением. Оценку точности приближения можно проводить так же, как и в первом способе, т. е. вычислив

для разности характеризующей точность приближения, будем иметь неравенство

Сходимость этого процесса получается из следующих соображений. Прежде всего имеет место следующее неравенство:

В самом деле, принимает по очереди значения точках

Следовательно,

Но за мы по определению принимаем наибольшую из нижних границ для всевозможных комбинаций точек для которых

т. е.

а так как

то заключено между наименьшим и наибольшим из значений

Следовательно, неравенство (43) справедливо. Последовательные точки в системе не могут находиться друг от друга на расстоянии меньшем, чем минимум длин интервалов о которых мы говорили в начале параграфа при определении величины Но, как мы отмечали, минимум длин эти интервалов при фиксированных и зависит лишь от которое в данном случае равно и может стремиться к нулю только при Но так как в нашем случае при переходе к каждому следующему приближению величина не убывает, то эта нижняя граница длин интервалов для всех может быть выбрана одна, пусть она будет Отсюда следует, что

Отсюда следует, что и ограничены снизу и сверху положительными числами и Учитывая способ выбора точек можно заключить, что имеется такое фиксированное число что

Тем более, будет иметь место неравенство

Из неравенства (46) следует, что

из которого получаем, что

т. е.

Далее

Отсюда

т. е.

а это означает (по теореме п. 5), что последовательность многочленов равномерно на сходится к многочлену наилучшего приближения для функции на в

Пример. Для функции -найти приближенно многочлен наилучшего приближения в так, чтобы отклонение отличалось от не больше чем на 0,0001.

За начальное приближение возьмем многочлен наилучшего приближения к данной функции на множестве точек экстремума многочлена Чебышева на отрезке Это будут точки:

Находим наилучшее приближение

(кликните для просмотра скана)

Находим поправку как многочлену наилучшего приближения к на множестве точек

Система для определения значений многочлена имеет вид:

Отсюда

Следовательно,

Точки экстремума на будут:

Это означает, что

т. е. мы нашли точное выражение многочлена наилучшего приближения и наилучшее приближение

Замечание. При построении многочлена наилучшего приближения в на множестве из точек иногда бывает проще вместо того, чтобы находить по общей формуле (15), а затем по значениям определяемым из системы (19), строить интерполяционный многочлен по любым значениям, рассматривать систему (19) как систему с неизвестными: (коэффициенты искомого многочлена) и и решать ее непосредственно.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)