1. Линейные множества. Линейно независимые системы элементов.
Множество 
элементов 
называется линейным, если в нем определены операция сложения, обозначаемая знаком 
и умножения на числа (действительные или комплексные), не выводящие за пределы 
и удовлетворяющие следующим условиям:
1. Сложение ассоциативно, т. е. 
2. Существует нулевой элемент 
такой, что 
при любом 
3. Для всякого х существует элемент, обозначаемый 
такой, что 
4. Сложение коммутативно: 
Здесь латинскими буквами обозначены элементы 
а греческими числа. Из первых трех аксиом вытекает единственность нулевого элемента, единственность обратного элемента 
и правило, что если 
или 
то 
Используя условия 5, 8 и 2, можно доказать, что 
при любом х. Мы не будем это доказывать, предоставив возможность провести доказательства самому читателю.
В качестве примера возьмем множество 
всех действительных функций, заданных на отрезке 
Если сложение функций и умножение их на действительные, числа осуществлять обычным образом, как это делается в анализе, то 
будет линейным множеством.
В линейном множестве можно ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости элементов. Совокупность элементов 
линейного множества 
называется линейно зависимой, если найдется такая система чисел 
не равных одновременно нулю, что
Если таких чисел 
подобрать нельзя, то совокупность элементов 
называется линейно независимой.
