§ 6. Сходимость рядов по ортогональным системам многочленов

Как мы видели, для сходимости ряда Фурье для некоторого элемента гильбертова пространства к этому элементу в смысле нормы пространства требуются полнота пространства и полнота ортогональной системы, по которой строится ряд Фурье.

Для доказательства того, что это имеет место в рассматриваемом нами случае, нам будут нужны некоторые сведения из теории функций действительного переменного.

Приведем пока две теоремы:

Теорема Леви. Если на дан ряд неотрицательных измеримых функций

и если

то почти везде на сходится ряд (Почти везде на означает, что всюду за исключением, быть может, множества меры нуль.)

Теорема Фату. Если последовательность неотрицательных измеримых функций, заданных на почти везде сходящаяся к функции если при всех

то и

Доказательств этих теорем здесь приводить не будем и отсылаем читателя к любому более или менее полному курсу теории функций действительного переменного.

Относительно веса будем предполагать, что почти всюду на и суммируем на этом промежутке.

Докажем следующую теорему, показывающую полноту пространства

Если последовательность сходится в себе, то она имеет предел, также принадлежащий

Пусть последовательность функций сходится в себе в пространстве Тогда можно найти такую последовательность натуральных чисел

что

при любых больших Здесь В частности,

и ряд

будет сходиться. Применим неравенство Буняковского к функциям и Получим:

Следовательно, сходится ряд

По теореме Леви почти везде сходится ряд

а следовательно, и ряд

Таким образом, последовательность имеет предел почти всюду на Обозначим его через

Покажем, что принадлежит к и что она является пределом последовательности в смысле метрики Для заданного найдем такое что при будет:

Последнее неравенство будет выполнено, если мы закрепим и будем произвольным образом увеличивать

Применим теорему Фату, взяв в качестве функции

и в качестве функции функции

Тогда получим:

Следовательно, функция а поэтому и принадлежат к Более того, мы доказали, что последовательность сходится в среднем с весом Докажем теперь теорему:

Множество всех измеримых ограниченных функций на множество С непрерывных на функций и множество всех многочленов всюду плотные множества в

Пусть На основании свойств интеграла Лебега для произвольного можно подобрать такое что как только мера произвольного множества будет меньше , то

(это свойство называют абсолютной непрерывностью).

Функция почти всюду конечна. Поэтому можно указать такое что мера множества, на котором будет меньше 8. Закрепив это положим

Очевидно, и

Первая часть теоремы доказана.

Для доказательства второй части теоремы находим такую, что Пусть . Лузиным была доказана теорема, утверждающая, что для любого существует такая непрерывная функция которая отличается от лишь на множестве меры, не превышающей 8, и удовлетворяющая неравенству При этом получим:

В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега последний интеграл может быть сделан меньше чем Таким образом,

Перейдем к третьей части. Найдем непрерывную функцию удовлетворяющую условию В силу теоремы

Вейерштрасса можно найти такой многочлен что

Тогда

и если то Теорема доказана полностью.

Из теоремы следует, что в многочлены с рациональными коэффициентами также образуют всюду плотное множество. Это множество счетно. Следовательно, сепарабельное пространство. Кроме того, отсюда следует, что построенные на степенях ортогональные многочлены образуют полную систему.

В результате наших рассуждений мы можем утверждать, что образованные нами ряды по ортогональным многочленам будут сходиться к разлагаемой в ряд функции в смысле метрики т. е. если частичная сумма соответствующего ряда, то

Во многих случаях, встречающихся на практике, полученная нами сходимость в среднем бывает недостаточна. Нужна либо обычная сходимость, либо даже равномерная сходимость.

Пусть - ортонормированная на система многочленов с весом Тогда функции будет соответствовать ряд Фурье по этой ортонормированной системе

где

Следовательно,

Обозначим

На основании тождества Кристофеля — Дарбу

Таким образом,

В частности, если то при любом

и, следовательно,

Умножая обе части последнего равенства на и пользуясь тем, что интегрирование ведется по мы можем записать:

Отсюда

Оценим величину

Если предполагать, что коэффициенты при старших членах положительны, то Далее,

где через С обозначено наибольшее из чисел По неравенству Буняковского

Обозначим

При этом и получаем:

Пусть функция

принадлежит Обозначим коэффициенты Фурье этой функции по ортогональной системе через Очевидно, при Поэтому если равномерно ограничены в точке х, то

и

Если многочлены равномерно ограничены на всем отрезке то наше утверждение будет справедливо для любой точки при меньших предположениях о а именно достаточно потребовать, чтобы существовал интеграл

Выражение

называют функцией Лебега ортонормированной системы Справедлива теорема:

Если непрерывная функция, удовлетворяющая условию

то ее ряд Фурье по ортогональной системе сходится в точке х.

Действительно, если является многочленом наилучшего равномерного приближения для то

Следовательно,

Но тогда

и правая часть стремится к нулю при . Будем называть числами Лебега. Если 6]

то, как следует из последней оценки, ряд Фурье функции по ортогональной системе будет равномерно сходиться к

При различных весах мы получим различные условия, которые нужно наложить на функцию для того, чтобы ее ряд Фурье по соответствующей ортогональной системе сходился к Но при любом весе свойство непрерывности не обеспечивает такой сходимости в каждой точке отрезка Это было показано В. Николаевым. Исследование сходимости рядов по ортогональным многочленам очень сложно, и мы не имеем возможности излагать здесь все тонкости вопроса. Ограничимся перечислением некоторых фактов, связанных с теми ортогональными системами, которые были приведены ранее.

Для многочленов Якоби справедлива следующая теорема: Если имеет на непрерывную производную порядка где наименьшее целое число, большее или равное , то ее ряд Фурье по многочленам Якоби равномерно сходится к

В частности, для многочленов Лежандра Для многочленов Чебышева первого рода Можно показать, что равномерная сходимость в этом случае будет иметь место, если потребовать лишь ограниченность первой производной. Для многочленов Чебышева второго рода Здесь также возможно уточнение теоремы, а именно достаточно потребовать выполнения для функции условия Дини — Липшица:

модуль непрерывности , т. e. для того чтобы обеспечить сходимость ряда по многочленам Чебышева второго рода на отрезке и равномерную сходимость на всяком отрезке

Для сходимости рядов по многочленам Лагерра достаточно потребовать, чтобы функция была кусочно-гладкой на и сходимости интеграла

При этом в точках непрерывности ряд сходится к а в точках разрыва к

Аналогичные условия достаточны для сходимости рядов по многочленам Эрмита. Первое требование здесь сохраняется, а вместо предыдущего интеграла требуется ограниченность

Равномерная сходимость рядов по ортогональным многочленам к заданной функции имеет практический интерес, так как если нам необходимо достаточно хорошее равномерное приближение функции с помощью многочленов, то в случае равномерной сходимости ряда за приближающий многочлен можно принять частную сумму ряда, построение которого во многих случаях достаточно просто.

Пример. Построить многочлен, равномерно приближающий функцию

на отрезке с точностью 0,0005.

Функция непрерывна вместе с производной на отрезке Следовательно, ряд Фурье этой функции по многочленам Чебышева первого рода сходится к ней равномерно. Поэтому будем искать многочлен, равномерно приближающий функцию как частную сумму ряда Фурье по многочленам Чебышева. Разложение по многочленам Чебышева легко получить следующим образом. Известно разложение

Положив здесь получим:

Если за приближение функции будем принимать сумму первых членов этого разложения, то погрешность не будет превосходить величины

Нам необходимо взять таким, чтобы

Для этого достаточно потребовать, чтобы имело место неравенство

Наименьшее целое значение удовлетворяющее этому условию, будет Таким образом, за многочлен, приближающий с точностью до 0,0005, можно взять

Используя то же самое разложение по многочленам Чебышева, можно получить многочлен пятой степени, дающий на отрезке приближение функции с точностью до 0,0001. Для этого нужно поступить следующим образом. За приближающий многочлен возьмем Многочлен уклоняется от на отрезке не более чем на

В многочлен войдет с коэффициентом с коэффициентом Из теории наилучших приближений

мы знаем, что на отрезке наименее уклоняется от нуля многочлен

причем величина этого уклонения равна Таким образом, если мы заменим многочленом

являющимся многочленом наилучшего приближения к на отрезке в совокупности многочленов степени не выше пятой, то мы совершим погрешность не более Заменяя в член многочленом мы совершим погрешность не более чем

После подстановки и приведения подобных членов получим многочлен пятой степени, уклоняющийся от на отрезке не более чем на

т. е. мы получим в пять раз лучшую точность приближения с помощью многочлена той же пятой степени.

Аналогично можно показать, что многочлен уклонение которого от на отрезке меньше 0,0005, можно тем же приемом преобразовать в многочлен четвертой степени, уклонение которого от также не превосходит 0,0005.

На этом пути часто удается построить многочлены, дающие очень хорошие приближения к заданной функции