§ 5. Некоторые теоремы о порядке наилучшего равномерного приближения непрерывных функций

Пусть непрерывная периодическая функция с периодом наилучшее равномерное приближение в совокупности тригонометрических многочленов вида где фиксированное целое число. Из второй теоремы Вейерштрасса следует, что Возникает вопрос: как быстро стремится к нулю при Оказывается, что скорость сходимости к нулю зависит от свойств функции и чем более гладка функция тем быстрей стремится к нулю. Мы здесь рассмотрим две теоремы Джексона, дающие оценку скорости убывания в зависимости от гладкости функции

Теорема 1. Если непрерывная периодическая функция с периодом удовлетворяющая условию Липшица

то

где -абсолютная константа.

Доказательство. Рассмотрим функцию

и покажем, что эта функция является тригонометрическим многочленом порядка самом деле,

где при Но так как при

т. е. - есть тригонометрический многочлен порядка Возводя его в квадрат и преобразуя квадраты и произведения косинусов в косинусы кратных узлов, а затем приводя подобные члены, получим:

Далее,

а

где

Итак, есть тригонометрический многочлен порядка Заметим для дальнейшего, что постоянный член в равен

(см. скан)

(см. скан)

или, вообще,

Теорема 2. Если непрерывная периодическая функция с периодом имеет производную порядка, удовлетворяющую условию Липшица

то имеет место неравенство

где С — та же константа, что и в теореме 1.

Доказательство. Из теоремы 1 следует неравенство

т. е. существуют многочлены порядка не содержащие постоянных членов, для которых

Обозначим через тригонометрический многочлен порядка являющийся интегралом от не содержащим постоянного члена. Тогда

т. е. функция имея ограниченную производную, наверняка удовлетворяет условию Липшица с константой . Но тогда по теореме 1

т. е. существует такой многочлен степени не имеющий постоянного члена, что

Полагая

можно записать последнее неравенство в таком виде:

Повторяя раз проведенные рассуждения, придем, наконец, к неравенству

которое означает, что

Используя теоремы 1 и 2, легко дать оценку наилучшего приближения в случае, когда мы функцию непрерывную на приближаем на отрезке с помощью алгебраических многочленов.

Заметим прежде всего, что не ограничивая общности, можно считать,

Теорема. Если непрерывна на отрезке и удовлетворяет условию Липшица

то

где С — абсолютная константа.

Доказательство. Сделаем замену независимого переменного Функция на отрезке удовлетворяет условию Липшица с той же константой, так как

По теореме 1 для функции можно подобрать такой тригонометрический многочлен порядка что

Так как — четная периодическая функция с периодом то можно считать, что не содержит синусов. Поэтому обратная подстановка дает

Но есть алгебраический многочлен степени следовательно

Теорема. Если непрерывна на отрезке и имеет непрерывную производную удовлетворяющую условию Липшица

то

Доказательство. Из предыдущей теоремы следует, что

т. е. существуют многочлены степени такие, что

или

т. е. функция удовлетворяет условию Липшица с константой . В таком случае

и, следовательно,

Продолжая рассуждения, придем, наконец, к неравенству

Так как при справедливо неравенство то

Из этих оценок мы видим, что если функция достаточно гладкая то стремится к нулю очень быстро. Ранее же мы видели, что стремится к нулю не быстрей — при любой гладкости лишь бы не была линейной функцией. Поэтому для приближения функции имеет прямой смысл строить многочлены наилучшего равномерного приближения.