5. Дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют ортогональные многочлены.
Будем теперь предполагать, что вес 
удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:
причем 
обращается в нуль на концах отрезка 
Мы наложили сильное ограничение на вес, но веса с таким свойством как раз и порождают наиболее важные ортогональные многочлены.
Пусть 
произвольный многочлен степени 
Рассмотрим интеграл
Производя два раза интегрирование по частям и пользуясь тем, что 
получим:
Воспользовавшись тем, что 
найдем:
Выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части, является многочленом степени не выше 
Поэтому
Подынтегральное выражение исходного интеграла (28) можно преобразовать так:
Обозначим выражение, стоящее в квадратных скобках справа, через 
Это многочлен степени не выше 
. В силу того, что 
мы получим:
для любого многочлена степени не выше 
Следовательно, 
принадлежит ортогональной системе многочленов с весом 
Как мы видели ранее, многочлены одинаковых степеней двух ортогональных систем при одном и том же весе могут отличаться друг от друга лишь постоянным множителем. Таким образом,
Отсюда
Итак, мы показали, что при наших предположениях о весе 
многочлены ортогональной системы 
удовлетворяют линейному дифференциальному уравнению, написанному выше. На этом мы ограничимся в рассмотрении общих свойств ортогональных многочленов и перейдем к изучению некоторых частных случаев.
