§ 13. Интерполирование функций комплексного переменного

Сделаем несколько замечаний относительно интерполирования функций комплексного переменного с помощью алгебраических многочленов. Очевидно, формула Лагранжа и все ее видоизменения, приспособленные для различных частных случаев расположения узлов, будут годны и для функций комплексного переменного. Но остаточные члены, которые мы ранее получали с помощью теоремы Ролля, в этом случае будут непригодны.

В этом параграфе мы дадим интегральное представление интерполяционного многочлена и остаточного члена для функций комплексного переменного.

Пусть С — простая замкнутая кривая и аналитическая на С и внутри С функция. Пусть, далее, узлы интерполирования также лежат внутри С. Рассмотрим интеграл

где Подынтегральная функция аналитична на С и внутри С, за исключением точек

Следовательно, интеграл будет равен сумме вычетов относительно каждой из этих точек. Но

Отсюда

т. е. является интерполяционным многочленом Лагранжа. Далее, представим в виде разности

Первый член в силу интегральной формулы Коши равен Следовательно,

Итак, остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа в нашем случае может быть представлен в виде