§ 3. Приближения в гильбертовом пространстве
Пусть 
есть линейное подпространство гильбертова пространства 
а 
-некоторый элемент из 
Можно поставить такую задачу: в подпространстве 
найти элемент 
дающий наилучшее приближение элемента 
т. е. элемент, для которого
Докажем теорему:
Если в 
существует элемент 
дающий наилучшее приближение к элементу 
то разность 
ортогональна ко всем элементам подпространства 
Допустим противное, т. е. предположим, что существует элемент 
для которого 
Можно считать, что норма 
равна 1, так как в противном случае вместо 
можно было бы взять 
Рассмотрим элемент 
и оценим норму 
Отсюда
что невозможно, так как 
по условию элемент наилучшего приближения.
Из доказанной теоремы следует, что в 
не может существовать двух элементов наилучшего приближения. В самом деле, допустим, что для элемента 
существуют два элемента наилучшего приближения: 
Тогда
В частности,
Но
а это означает, что 
Если 
образовано всевозможными линейными комбинациями некоторых 
линейно независимых элементов 
то на основании результатов предыдущей главы элемент наилучшего
приближения всегда существует. Этот элемент будет единственным на основании только что проведенных рассуждений. Для конечномерного случая единственность будет также следовать из строгой нормированности гильбертова пространства.
