§ 10. Применение метода наименьших квадратов для сглаживания результатов наблюдения

Пусть в результате наблюдений получена таблица значений функции для значений аргумента Будем предполагать, что значения аргумента найдены точно или во всяком случае значительно точнее, чем значения функции Будем предполагать, что систематические погрешности, а также грубые ошибки в значениях исключены. С целью уменьшения случайных ошибок и получения более плавного течения

функции применяют процесс сглаживания, состоящий в том, что наблюденные значения заменяют значениями полученными в процессе вычислений, зависящих от выбранного способа сглаживаиия.

Мы изложим способ сглаживания, основанный на методе наименьших квадратов, предполагая, что значения равноотстоящие, а все значения имеют одинаковую точность. Этот способ заключается в следующем. Предполагается, что функция на некотором участке, охватывающем значений аргумента х, может быть достаточно хорошо приближена многочленом степени Для того чтобы найти сглаженное значение в точке выбирают значений аргумента (из заданных так, чтобы по возможности находилось посредине. По наблюденным значениям функции в этих точках методом наименьших квадратов строят многочлен степени приближающий функцию и за значение принимают значение этого многочлена в точке Полученные при этом значения обычно бывают довольно близки к истинным.

Для практического использования можно заранее найги выражение через наблюденные значения при заданных Часто выбирают четным числом, а нечетным. В этом случае точка будет являться средней из точек, по которым строится приближающий многочлен.

Ниже приводится несколько таких выражений. Для краткости вместо мы записываем

Иногда сглаживание приходится производить несколько раз, но при этом нужно иметь в виду, что многократное сглаживание может сильно исказить истинную картину.