3. Безразностные формулы численного дифференцирования.

В некоторых случаях выгоднее выражать формулы численного дифференцирования не через разности, а непосредственно через

значения функции. Для получения таких формул удобно воспользоваться вариантом формулы Лагранжа для случая равных промежутков, приведенным в предыдущей главе:

Дифференцируя один раз, получим:

В частности, при будем иметь:

Для второй производной будем иметь:

и при

Выпишем готовые выражения для производных первого и второго порядка при различных значениях точки):

(четыре точки):

(пять точек):

(шесть точек):

(семь точек):

Сравнивая различные формулы, мы видим, что наиболее простые выражения получаются при четных в средних точках. При этом и коэффициенты при производных в остаточных членах получаются самыми маленькими. Поэтому на практике, по возможности, следует применять эти формулы.

Приведем соответствующие выражения для вторых производных. (три точки):

(четыре точки):

(пять точек):

И в этом случае наиболее выгодные формулы получаются для четных и для средних точек.