3. Остаточный член интерполяционной формулы Эрмита.

Произведем оценку остаточного члена интерполяционной формулы Эрмита. При этом мы будем требовать существования производной порядка от интерполируемой функции на отрезке на котором находятся узлы интерполирования и значение х, для которого производится интерполирование, и существования и непрерывности всех производных низшего порядка.

Рассмотрим вспомогательную функцию

где -некоторая постоянная. Эта функция имеет нуль кратности в точке нуль кратности в точке наконец, нуль кратности в точке Подберем К так, чтобы обратилась в нуль в точке х, для которой мы производим интерполирование. Это возможно, так как тогда

а На основании теоремы Ролля производная обратится в нуль в точках в интервалах между и, кроме того, будет иметь нули кратностей в точках т. е. всего нулей на

промежутке Далее, получим, что вторая производная будет иметь по крайней мере нулей на этом промежутке, третья нулей и т. д. Наконец, производная порядка будет иметь на отрезке по крайней мере один нуль. Итак, на отрезке найдется по крайней мере одна точка такая, что

Но

так как есть многочлен степени не выше следовательно, его производная порядка равна нулю, а есть многочлен степени со старшим коэффициентом 1 и его производная порядка равна Отсюда

Итак,

Относительно практического применения этой формулы можно сказать то же самое, что говорилось ранее для многочлена Лагранжа. На основании этой формулы, так же как и ранее, можно доказать равномерную сходимость на если только целая функция.

В тех случаях, когда интерполяционная формула Эрмита нужна нам лишь для целей интерполирования, а не для приближенного аналитического представления функции, то общая формула, которую мы получили, неудобна. Когда мы изучали формулу Лагранжа, то оказалось более выгодным преобразовать ее к форме Ньютона. Попробуем и в случае красных узлов поступить аналогичным образом. Проще всего это сделать, перейдя к пределу в интерполяционной формуле Ньютона. Это приведет нас к понятию разделенных разностей с повторяющимися значениями аргумента.