4. Системы Чебышева.

Проанализируем теперь вопрос о том, какие нужно наложить условия на для того, чтобы определитель А не обращался в нуль. Для целей интерполирования важно использовать одну и ту же систему функций при различных совокупностях точек Поэтому будем отыскивать условия того, что А не обращается в нуль ни при какой системе чисел Линейной независимости функций уже становится недостаточно, хотя это условие и является необходимым. Так, например, функции линейно независимы, но если взять то определитель

равен нулю.

Если А равняется нулю для какой-то системы чисел то это означает, что существуют такие постоянные не все равные нулю, для которых

обращается в нуль в точках Таким образом, нам надо наложить такие ограничения на при выполнении которых мы могли бы быть уверенными, что никакая линейная комбинация

не может иметь различных корней на Системы функций, обладающие этим свойством, будем называть системами Чебышева.

Наложим на функции следующие ограничения: 1) дифференцируемы до порядка на и 2) все вронскианы

отличны от нуля на Докажем следующее обобщение теоремы Ролля:

Теорема 1. Пусть есть раз дифференцируемая функция на и имеет на атом промежутке корней. Тогда на найдется такая. точка 5, что

обращается в нуль в точке

Доказательство. Наряду с будем рассматривать определяемые равенствами

Здесь произвольная раз дифференцируемая на функция. Покажем, что можно найти такие функции что

Действительно, — линейный дифференциальный оператор порядка с коэффициентом при старшей производной, равным единице. Далее,

Таким образом, функции образуют фундаментальную систему решений уравнения Оператор

— также линейный дифференциальный оператор порядка с коэффициентом при старшей производной, равным единице:

Определим так, чтобы

Для этого достаточно положить

Так как не обращается в нуль, то будет непрерывная функция. Определив так мы получим, что система будет фундаментальной системой решений для уравнения

это означает, что

Рассмотрим теперь функцию

Ее производная имеет вид

как и обращается в нуль на раз. Следовательно, а поэтому и обращается на в нуль по крайней мере раз. Далее, вводим функцию

Проводя те же самые рассуждения, получим, что обращается в нуль по крайней мере раз. Продолжая этот процесс, получим, в конце концов, что найдется по крайней мере одна точка для которой

Теорема доказана.

Теорема 2. Если раз дифференцируемы на отрезке на

при всех то функции образуют систему Чебыева.

Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда найдется такая линейная комбинация

которая обращается в нуль по крайней мере в различных точках отрезка Тогда по только что доказанной теореме обязана обращаться в нуль по крайней мере в одной точке Но

Так как

не обращается в нуль ни в одной точке то должно быть Таким образом, найдется различных точек отрезка в которых

обращается в нуль. Тогда, снова применяя обобщенную теорему Ролля, найдем, что обращается в нуль по крайней мере в одной точке Проводя те же рассуждения, что и раньше, найдем, что Продолжая этот процесс, мы придем, в конце концов, к выводу, что все коэффициенты равны нулю вопреки нашему предположению.