3. Другие способы построения интерполяционных многочленов для функций многих переменных.

Возможен и другой подход к интерполированию функций многих переменных при помощи многочленов. Мы уже не будем требовать, чтобы степень интерполяционного многочлена была наименьшей, и будем рассматривать такие системы узлов, для которых решение поставленной интерполяционной задачи будет не единственным. Но сам способ интерполирования будет выделять из всего множества возможных интерполяционных многочленов один единственный интерполяционный многочлен.

Пусть, например, нам заданы следующие узлы интерполирования:

и даны значения функции в этих узлах. Возможен следующий способ приближенного определения значения функции в некоторой точке не совпадающей с узлами интерполирования. Сначала интерполируем нашу функцию как функцию одного переменного х при фиксированных значениях При этом мы каждый раз используем одну строку заданной таблицы узлов. Таким образом, мы можем найти приближенные значения Затем по найденным значениям путем интерполирования по у находим Посмотрим, как будет выглядеть интерполяционная формула при таком способе интерполирования.

Применяя интерполяционную формулу Ньютона для неравных промежутков, будем иметь:

Снова применим интерполяционную формулу Ньютона для неравных промежутков к рассматривая эту разделенную разность как функцию х, получим:

Подставляя эти выражения в предыдущую формулу, найдем:

Здесь при получатся множители и Мы условимся считать их равными единице. Заметим далее, что

Таким образом, и

Двойная сумма дает интерполяционную формулу, а остальные члены — остаточный член этой формулы. Остаточный член можно записать в другой форме. Действительно, рассматривая как разделенную разность по при фиксированном у, будем иметь;

Аналогично

Далее, считая фиксированными, будем иметь:

Снова используя представление резделенной разности через производную, получим:

Таким образом, остаточный член может быть записан в виде

В случае, если разности постоянны, мы можем, как и в предыдущем случае, получить формулы с двойными конечными разностями. Мы здесь их выписывать не будем.

В заключение этого параграфа отметим, что можно получить формулу, которая будет пригодна при любом расположении узлов. Опять для сокращения записей используем векторные обозначения. Наша формула будет иметь вид

Проверим, что она удовлетворяет интерполяционным условиям. Числитель каждого слагаемого представляет собой многочлен степени по х и у. Следовательно, и вся сумма будет являться многочленом степени не выше Если точка совпадает с одним из узлов интерполирования, например с то все слагаемые суммы, у которых индекс при не совпадает с обратятся в нуль, так как в числителе обязательно встретится скалярное произведение равное нулю. Если индекс при равен то дробь соответствующего слагаемого обратится в 1 и будет равно

Из самого вида формулы видно, что построение возможно при любом расположении узлов интерполирования. Действительно, знаменатели всех дробей отличны от нуля, если среди узлов нет совпадающих.

Построенный нами многочлен обладает следующими замечательными свойствами. Значение многочлена целиком определяется величинами в узлах интерполирования, положением узлов на плоскости и положением точки, для которой проводится интерполирование, на плоскости. Оно не изменится при любом перемещении осей координат. Если все узлы интерполирования расположены на одной прямой, то значения Р(х,у) и значения интерполяционного многочлена Лагранжа на этой прямой совпадают. Изменение нумерации узлов интерполирования не меняет Р(х, у). Можно показать, что , удовлетворяющий этим условиям, будет однозначно определяться нашей формулой.