§ 2. Ортонормированные системы в гильбертовом пространстве

Ряды Фурье

Два элемента гильбертова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т. е. Элемент называется нормированным, если его норма равна единице.

Конечную или бесконечную систему элементов мы назовем ортогональной системой, если любые два ее элемента ортогональны. Система называется ортонормированной, если она ортогональна и элементы ее нормированы.

Ортонормированная система всегда линейно независима, так как определитель Грамма ее равен единице. Докажем следующую теорему.

Если система линейно независимых элементов гильбертова пространства, то можно построить такую ортонормированную систему что элементы ее будут линейными комбинациями элементов системы и наоборот. Так как — система линейно независимых элементов, то среди них нет нулевого элемента. Поэтому Будем строить ортонормированную систему последовательно. Положим Очевидно Рассмотрим далее элемент и подберем а так, чтобы Получим:

Очевидно, так как в противном случае было бы что невозможно в силу линейной независимости и Положим теперь Тогда

Пусть уже построены элементы такие, что при и элемент является линейной комбинацией элементов Построим элемент

и подберем числа так, чтобы Получим:

т. е.

Элемент есть линейная комбинация Он не может быть нулевым элементом, так как входит в с коэффициентом элемент не входит) и условию линейно независимы. Поэтому

Положим теперь Очевидно, что Кроме того, есть линейная комбинация элементов образом, по индукции можно заключить, что существует система элементов

являющаяся ортонормированной системой, каждый элемент которой есть линейная комбинация элементов исходной системы. Так как

то и обратно, элементы являются линейными комбинациями элементов системы

Назовем ортонормированную систему полной, если не существует никакого другого элемента, отличного от нулевого, который ортогонален ко всем элементам системы. Другими словами, полнота системы означает, что ее нельзя расширить присоединением новых элементов до более широкой ортонормированной системы. Докажем теорему:

В гильбертовом пространстве любая ортонормированная система не более чем счетна.

Так как гильбертово пространство сепарабельно, то существует счетное всюду плотное в нем множество элементов Пусть некоторая ортонормированная система элементов пространства Пусть некоторый элемент этой системы. Для него можно найти такой элемент что Покажем, что не может существовать другого элемента из системы для которого имело бы место такое же неравенство. Пусть такой элемент существует, т. е. Тогда, с одной стороны,

а с другой стороны,

что невозможно, а это уже означает, что множество не более чем счетно.

Докажем следующую теорему:

Во всяком гильбертовом пространстве существует не более чем счетная полная ортонормированная система элементов. Рассмотрим в гильбертовом пространстве счетное всюду плотное множество элементов Опустим в нем нулевой элемент, если он имеется, а также все элементы, линейно зависящие от предыдущих. Оставшуюся систему элементов ортогонализируем и нормируем так, как это было показано ранее. Получим не более чем счетную ортонормированную систему элементов Докажем, что эта система полна. В самом деле, пусть является элементом гильбертова пространства, ортогональным ко всем элементам системы т. е. всех Так как каждый элемент системы есть линейная комбинация элементов то при всех При любом в силу плотности множества в

можно найти такой элемент что Тогда, используя неравенство Буняковского и равенство получим:

Следовательно, атак как произвольное число, то Это означает, что т. е. система есть полная ортонормированная система элементов.

Пусть теперь какая-то ортонормированная система элементов гильбертова пространства Скалярные произведения назовем коэффициентами Фурье элемента по ортонормированной системе Элементу можно поставить в соответствие ряд (или конечную сумму, если ортонормированная система конечна)

называемый рядом Фурье элемента по ортонормированной системе

Для коэффициентов Фурье имеет место важное неравенство, называемое неравенством Бесселя. Рассмотрим квадрат нормы разности и где частичная сумма ряда Фурье. Получим:

Отсюда

Так как это неравенство справедливо при всех то ряд сходится и

Это и есть неравенство Бесселя. Докажем теорему:

Если гильбертово пространство полно, то ряд Фурье элемента по ортонормированной системе сходится. Пусть

является рядом Фурье элемента , т. е. Оценим величину

Так как система ортонормирована, то

В силу сходимости ряда сумма стремится к нулю при неограниченно возрастающих т. е. последовательность частных сумм есть последовательность фундаментальная, а в силу полноты пространства должен существовать элемент являющийся пределом этой последовательности, т. е.

Докажем, что разность ортогональна ко всем элементам ортонормированной системы Действительно,

Пусть тогда

откуда по неравенству Буняковского

Правая часть стремится к нулю при неограниченном возрастании а левая часть от не зависит. Следовательно,

Если ортонормированная система полная, то из этих равенств следует, что т. е. и мы доказали теорему:

В полном гильбертовом пространстве ряд Фурье любого элемента по полной ортонормированной системе элементов сходится к этому элементу. В этом случае, так как

то, переходя к пределу, получим:

т. е. вместо неравенства Бесселя имеем равенство, называемое равенством Парсеваля.