§ 1. Наилучшее приближение в линейных нормированных пространствах

1. Линейное нормированное пространство.

Будем говорить, что множество является линейным нормированным пространством, если это множество линейно и, кроме того, каждому элементу поставлено в соответствие действительное число - норма , - удовлетворяющее условиям:

1) , причем тогда и только тогда, когда

2) для любого с;

Линейные нормированные пространства всегда являются метрическими пространствами. Действительно, в качестве расстояния можно взять просто

Без труда проверяется, что все аксиомы метрического пространства при этом выполнены.

2. Элемент наилучшего приближения.

Пусть теперь дано некоторое линейное нормированное пространство Возьмем в нем линейно независимых элементов и образуем -мерное линейное нормированное подпространство всевозможных линейных комбинаций

Числовое множество

ограничено снизу (нормы—неотрицательные числа).

Поэтому существует точная нижняя грань значений

Выясним вопрос: существует ли элемент для которого эта нижняя грань достигается, т. е. существует ли такой элемент для которого имеет место равенство

Каждый из элементов для которого выполняется равенство (4), будем называть элементом наилучшего приближения

для или проекцией на При замене пространства пространством элементу мы будем ставить в соответствие его проекцию на Если норма выбрана удачно, то такая замена будет наиболее выгодна.

3. Существование элемента наилучшего приближения.

Теорема. Для любого элемента существует элемент наилучшего приближения. Для произвольных элементов и введем обозначения:

Если зафиксировать и заставить пробегать все множество то получим две функции определенные в каждой точке -мерного пространства Докажем непрерывность этих функций. Рассмотрим, например, функцию . Зафиксируем некоторую точку арассматриваемого нами пространства и оценим разность

Из свойств нормы, приведенных выше, без труда находим:

В самом деле,

и аналогично

Отсюда

а это и есть неравенство (7), которое мы доказываем, только записанное без знака абсолютной величины. Из доказанного неравенства следует, что

Если то при будем иметь:

т. е. непрерывность доказана. Аналогично доказывается непрерывность функции

Функция неотрицательна. Обозначим точную нижнюю границу ее значений через Докажем, что найдутся такие значения при которых эта точная нижняя граница достигается. Для этого рассмотрим множество точек -мерного евклидова пространства для которых

т. е. единичную сферу этого пространства. Это ограниченное замкнутое множество. Следовательно, непрерывная положительная функция должна достигать на нем своей точной нижней границы Очевидно, так как в противном случае существовала бы точка в которой

что невозможно в силу линейной независимости элементов Обозначим через величину

и разобьем все пространство на две части отнеся к все точки, для которых а к — все остальные точки. Рассмотрим значения функции на множестве Пусть а Тогда и

Таким образом, есть нижняя грань значений функции на множестве Но это множество ограничено и замкнуто. Следовательно, функция непрерывная на этом множестве, обязана достигать в некоторой точке своей нижней грани. Если обозначить эту точку через то

Итак, в всегда существует элемент наилучшего приближения.