§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

1. Построение интерполяционного многочлена Лагранжа.

Возьмем в качестве последовательность

Функции этой последовательности линейно независимы на любом отрезке. Действительно, если бы на каком-то отрезке имело место

то все так как алгебраический многочлен степени с отличными от нуля коэффициентами не может иметь более корней. Определитель в данном случае примет вид

Это — определитель Вандермонда. Он равен

В силу нашщх предположений о определитель отличен от нуля. Следовательно, при любых однозначно определится Для определения вида будем отыскивать функции Как было указано выше, представляет собой линейную комбинацию функций удовлетворяющую условиям

Итак, для того чтобы отыскать нам нужно найти многочлен степени обращающийся в нуль в точках и равный 1 в точке Отсюда

Так как

Получаем окончательйо:

и

Этот многочлен и решает задачу интерполирования. Будем называть его интерполяционным многочленом Лагранжа и, чтобы отличать

от других случаев интерполирования, обозначать где степень интерполяционного многочлена. Введем обозначение

Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа может быть записан в форме:

Рассмотрим некоторые примеры на построение интерполяционных многочленов Лагранжа.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным:

В этом случае

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным:

В этом случае

Мы в обоих примерах располагали многочлены по степеням х. Если нужно подсчитывать лишь при некоторых значениях х, то никакой необходимости так располагать его нет.

Как видно из приведенных примеров, образование интерполяционных многочленов Лагранжа связано с большой вычислительной работой. Так же велика вычислительная работа при получении значения для какого-то фиксированного значения х. Сравнение двух приведенных примеров показывает, что если даже мы имеем интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный по значениям то это мало помогает нам при построении интерполяционного многочлена Лагранжа по значениям его в точках Все это заставляет задумываться об усовершенствовании формулы Лагранжа с целью упрощения вычислительного процесса. Об этом мы сейчас и будем говорить.