§ 6. Среднеквадратичные погрешности
1. Систематические и случайные ошибки.
Мы начнем этот параграф с классификации ошибок, возникающих при измерении физических величин.
Когда говорят об измерении некоторой физической величины, то неявно предполагают, что данная физическая величина имеет вполне определенное числовое значение. Это предположение должно быть выполнено во всех тех измерениях, о которых будет идти речь в настоящем параграфе.
Опыт показывает, что в результате измерения мы получаем не точное значение измеряемой величины, а лишь приближенное, включающее некоторую ошибку. Появление ошибки может быть вызвано самыми различными причинами.
Инструмент, с помощью которого производят измерения, может быть недостаточно аккуратно выполнен. Например, деления измерительной линейки могут быть нанесены неточно. При этом в результате измерения всегда войдет ошибка, которую называют инструментальной.
Лицо, производящее измерения, имеет определенные навыки и определенные физические данные. Поэтому обычно при точных измерениях разные лица даже при одинаковых условиях получают разные результаты. Каждый результат обладает некоторой ошибкой, которую называют личной.
При некоторых измерениях мы можем не учесть каких-то физических факторов, существенно влияющих на результат измерения, и тем самым внести в результат ошибку. Такую ошибку мы совершили бы, например, если при определении широты места с помощью астрономических наблюдений забыли о преломлении луча при прохождении через атмосферу. Эти ошибки называют теоретическими.
Все указанные выше ошибки называют систематическими. В нужных случаях мы всегда сможем, хотя бы принципиально, либо исключить такие ошибки, либо сделать их как угодно малыми. Неисправный инструмент можно заменить исправным, личная ошибка может быть довольно точно определена и исключена, неучтенные физические факторы можно учесть с достаточно большой точностью. В данном параграфе мы предполагаем, что систематические ошибки отсутствуют.
Исключив систематические ошибки, мы еще не сделаем результаты измерения точными. Дело в том, что условия, при которых должен быть произведен опыт (температура, давление и т. п.), «ельзя считать полностью стабильными и полностью совпадающими
с заданными условиями. Кроме того, при всяком опыте мы отвлекаемся от ряда физических факторов, влияние которых считаем ничтожным. Всякое изменение состояния этих факторов изменит результат на величину, которую мы не учитываем, а часто и не можем учесть. Так, при измерении широты мы не сможем полностью учесть состояния атмосферы в данный момент и в данном месте. Всякое изменение в состоянии атмосферы будет влиять на результат измерения. Все эти отклонения от заданных условий опыта вызовут появление ошибки в результате измерения. Эту ошибку называют случайной. Такое название оправдывается тем, что величина случайной ошибки определяется факторами, не управляемыми экспериментатором, и при разных обстоятельствах можег быть различной.
Дадим телерь математическую характеристику случайной ошибки. Будем предполагать, что при измерении физической величины х мы можем получить результат, принадлежащий некоторому конечному или бесконечному множеству возможных результатов измерения. В дальнейшем для простоты рассуждений будем предполагать это множество конечным. Обозначим все возможные результаты измерения величины х через
Эти возможные результаты измерения не всегда бывают равноценны в том смысле, что если производить измерения большое количество раз, то одни результаты будут появляться чаще, другие реже. В связи с этим мы будем предполагать, что каждому результату 
можно сопоставить действительное число 
вероятность появления этого результата. Вероятность результата тем больше, чем чаще могут наблюдаться условия, при которых появляется данный результат. По терминологии теории вероятностей наши результаты измерения представляют собой случайную величину.
Выражение
в теории вероятностей называется математическим ожиданием случайной величины. В дальнейшем мы будем предполагать, что выполнено равенство
Это — математическая запись нашего предположения об отсутствии систематической ошибки.
