2. Верные знаки числа.

При записи приближенного числа мы обязательно должны указывать соответствующую ему область неопределенности. Наиболее аккуратный способ записи будет иметь вид: где и границы области неопределенности. Можно также записывать приближенное число в виде Однако если нам нужно записать большую таблицу приближенных чисел, то оба способа будут неудобны. Поэтому в вычислительной практике часто прибегают к различным приемам, позволяющим по записи только самого приближенного числа судить о его погрешности. Один из наиболее распространенных приемов

состоит в следующем. Выбирают некоторое положительное число В приближенном числе

цифра считается верной, если . В противном случае считается сомнительной цифрой. Ясно, что если является верной цифрой, то и все предыдущие цифры верные. Записывая приближенное число без указания его погрешности, требуют, чтобы все записанные цифры были верны. Так, например, если в десятичной системе будет записано приближенное число 3,14 и не будет указана его предельная абсолютная погрешность, то это означает, что она не превышает Чтобы показать, что предельная абсолютная погрешность числа 314 000 не превышает его следует записать в виде

Если исходное число имеет несколько сомнительных цифр и мы хотим использовать наш способ записи, его нужно предварительно округлить. К округлениям прибегают и в том случае, когда число разрядов чересчур велико. В связи с этим накладывается ограничение на наименьшее возможное значение Действительно, как мы видели, при округлении числа до старших разрядов абсолютная погрешность может возрасти на Таким образом, нельзя брать так как при этом найдутся числа, у которых последняя цифра будет оставаться сомнительной, сколько бы мы ни округляли. При любом выборе найдутся такие числа, у которых последняя верная цифра после округления уже не станет верной. Найдем наименьшее так, чтобы после округления оставалась верной, по крайней мере, предпоследняя верная цифра числа. Пусть является последней верной цифрой числа

Это значит, что

После округления до старших разрядов предельная абсолютная погрешность может достигнуть

Нужно, чтобы она не превышала т. е. нужно требовать, чтобы было

Это неравенство должно быть выполнено и при замене его наибольшим возможным значением, т. е. должно быть выполнено неравенство

Отсюда

Наименьшее значение будет равно

При т. е. в десятичной системе счисления получим:

При т. е. в двоичной системе счисления, будем иметь:

Если допускать сдвиг последней верной цифры на два разряда влево, то в десятичной системе можно взять в качестве число

При такой записи приближенных чисел мы будем иметь лишь грубое представление о истинной их погрешности. Чем больше мы будем брать тем больше будет таких чисел, для которых истинная погрешность будет завышена. Поэтому, если наши числа появляются в результате вычислений по формулам с точными значениями исходных данных (например, при составлении таблиц трансцендентных функций), когда мы можем достигнуть практически любой заданной точности, выгоднее брать возможно меньшим. В этих случаях в десятичной системе выгодно брать возможно более близким к 0,5. Например, можно взять или и т. п. Другое дело, если наши приближенные числа получаются в результате измерений или в результате вычислений с недостаточно точными исходными данными, как это часто случается в технических расчетах. При этом малые значения будут связаны с необходимостью производить округления, снижающие точность результатов, и так недостаточно точных, и поэтому невыгодны. В этих случаях обычно берут

Условие о записи приближенных чисел, при котором все цифры, должны быть верными, нужно использовать лишь в тех случаях когда затруднительно указывать наряду с самими числами их погрешности. Отбрасывание сомнительных цифр, сопровождаемое округлениями, всегда увеличивает область неопределенности приближенного числа. Во всяком случае, если приближенные числа не носят окончательного характера и с ними предполагается производить еще какие-то вычисления, то следует сохранять одну или две сомнительные цифры.

Если мы знаем последнюю верную цифру приближенного числа, то можем сразу же дать оценку его абсолютной погрешности. Получим теперь формулы, позволяющие оценивать относительные погрешности чисел. Пусть дано приближенное число

причем последней верной цифрой является Абсолютная погрешность этого числа будет заключена в пределах

Следовательно,

Получим отсюда более грубые, но зато и более удобные оценки. Для этого увеличим правую часть, заменив в ней нулями, и уменьшим левую часть, заменив в ней нулями и на Тогда будем иметь:

За грубое значение Де можно принять

Наши формулы позволяют также грубо оценить количество верных Цифр или верных знаков приближенного числа, т. е. число если известна относительная погрешность. Пусть, например, в результате вычислений получено число 2,14865. Найдем, сколько оно имеет верных знаков, если Нам нужно найти при котором

или

Оба неравенства будут выполнены при или 5. Значит, мы можем уверенно сказать, что наш результат имеет четыре верных знака. Фактически при отыскании числа верных знаков мы должны отыскивать наименьшее при котором выполняется неравенство

Заметим здесь же, что в вычислительной практике используют также термин число верных десятичных знаков. Под этим понимают число верных цифр после десятичной запятой. Так, например, если в числе

все цифры верны, то говорят, что оно имеет шесть верных десятичных знаков. В то же время это число имеет три верных знака. При подсчете верных знаков нули, стоящие слева, не считаются.