ГЛАВА 4. РАВНОМЕРНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

В практике вычислений, особенно при работе на электронных цифровых вычислительных машинах, часто приходится встречаться с многократными вычислениями значений заданной функции например с вычислениями значений элементарных функций Вводить в машину эти функции в виде таблиц нецелесообразно, так как таблицы загромождают память машины и на выборку нужных значений тратится сравнительно большое время. Значительно целесообразней каждый раз вычислять нужное значение функции с заданной точностью используя какой-либо алгоритм для ее вычисления. Очень часто для этой цели заменяют рассматриваемую функцию другой, легко вычислимой функцией (например, многочленом), значения которой на всем рассматриваемом отрезке изменения х отличаются от значений не больше чем на и в процессе вычислений работают с функцией

Рассмотрим пример. Пусть нужно многократно вычислять значения функции при с точностью Разлагая в степенной ряд и удерживая пять членов, будем иметь при

Следовательно, с заданной точностью вместо значений на можно брать соответствующие значения многочлена

вычисление которых не составляет труда.

Среди многочленов, степень которых не выше девяти, построенный многочлен не является единственным многочленом, дающим на [0, приближение с заданной точностью. Более того, нетрудно построить многочлен седьмой степени, приближающий

на с заданной точностью В самом деле, в § 3 гл. 2 мы видели, что для многочленов Чебышева имеет место неравенство

Но

Отсюда при

Если в многочлене заменить многочленом т. е. рассмотреть многочлен

то на отрезке он будет отличаться от не больше чем на а это значит, что отличается от на не больше чем на т. е. удовлетворяет нашим требованиям к точности.

Естественно, что при заданной функции и заданной точности нужно выбирать функцию наиболее удобную для вычислений (в данном примере нужно выбирать многочлен возможно меньшей степени, так как вычисление его значений потребует наименьшего числа операций и ячеек памяти).

Таким образом, мы приходим к следующим задачам:

1. Даны класс функций, определенных на отрезке и некоторое подмножество функций этого класса. Для заданной функции и заданного числа требуется найти такую функцию чтобы имело место неравенство

В качестве обычно рассматривается множество С непоеоывных функций, а в качестве некоторое множество алгебраических или обобщенных многочленов.

2. Для данной функции найти функцию для которой имеет место неравенство

Если такая функция существует, то ее называют функцией наилучшего равномерного приближения к в классе

В связи с этими двумя задачами возникает ряд вопросов, изложению которых и посвящена настоящая глава. Мы изложим их сначала в общей постановке, а затем подробнее рассмотрим вопросы равномерного приближения в пространстве С непрерывных функций.