4. Разделенные разности с повторяющимися значениями аргумента.

Непосредственное определение разделенных разностей, данное ранее, непригодно в случае повторяющихся значений аргумента, так как при этом обязательно встретятся отношения вида Необходимы дополнительные определения. Положим

когда и все х различны. Для существования такого предела нужны некоторые дополнительные условия на функцию Так, например, согласно нашему определению

и следовательно, мы должны предполагать существование производной В дальнейшем мы будем предполагать яествование и непрерывность всех производных от которые нам встретятся.

Для изучения разделенных разностей с повторяющимися значениями аргумента будем пользоваться полученным ранее представлением обычных разделенных разностей в виде отношения определителей

Для сокращения записей будем обозначать определитель, стоящий в знаменателе через а определитель, стоящий в числителе через Нам нужно найти предел отношения

при Непосредственная подстановка вместо ничего не дает, так как при этом числитель и знаменатель обращаются в нуль. Воспользуемся правилом Лопиталя. После дифференцирования числителя и знаменателя по и замены х на вторая строка числителя будет иметь следующий вид:

а вторая строка знаменателя перейдет в

Здесь через обозначено выражение Остальные строки числителя и знаменателя не изменятся.

Применение правила Лопиталя будет законно, если знаменатель окажется отличным от нуля. Проверку этого мы произведем в дальнейшем. Устремим теперь Опять придется применять правило Лопиталя. После однократного дифференцирования числителя и знаменателя по и последующей замены на нас совпадут вторые и третьи строки. Поэтому будем дифференцировать дважды и лишь после этого заменим на В результате третья строка числителя превратится в

Третья строка определителя в знаменателе будет такова:

Продолжим этот процесс дальше до тех пор, пока не переберем все При этом первые строк определителя, стоящего в числителе, будут таковы:

В знаменателе будет аналогичная картина, только в качестве нужно взять

После этого проделаем аналогичные операции с затем с х и так далее, пока не переберем все Нетрудно представить, во что перейдут при этом числитель и знаменатель.

Проверим теперь, что ни один из получившихся у нас знаменателей не обратится в нуль, Как известно,

Выделим отсюда множители, содержащие Получим:

Таким образом, производная знаменателя по при будет равна

Выделяя здесь множители, содержащие х, получим:

Вторая производная по от этого выражения при будет равна

Аналогично находим, что третья производная от этого выражения по при будет равна

Продолжаем этот процесс до тех пор, пока не переберем все Окончательно получим:

Перейдем теперь к дифференцированию по Выделим из последнего множителя предыдущего выражения

Дифференцирование и последующая подстановка вместо дадут:

Теперь выделяем из последнего множителя разности затем дифференцируем дважды по и полагаем Это даст:

Процесс продолжаем до тех пор, пока не переберем все В конце концов, получим:

Теперь будем дифференцировать по затем по и так далее, заканчивая на итоге исходный определитель перейдет в

или, если вычислить

При наших предположениях ни один из полученных таким образом определителей не обращается в нуль. Таким образом, наше определение разделенных разностей с повторяющимися значениями аргументов законно, и эти разности можно вычислять тем способом, который здесь приведен.

Рассмотрим, в частности, Представление этой разности в виде отношения определителей будет выглядеть так:

Полученные нами выражения разделенных разностей с повторяющимися значениями аргументов слишком громоздки и не могут служить для практических вычислений. Перенесем на них способ вычисления обычных разделенных разностей через разности низшего порядка. Пусть нам требуется вычислить разделенную разность

Предполагаем, что все разделенные разности низшего порядка уже вычислены. Будем предполагать также, что под знаком разделенной разности имеется по крайней мере два различных аргумента. Пусть хотя бы Для случая, когда все аргументы под знаком разделенной разности совпадают, мы уже получили удобную формулу. По определению,

Но

Переходя к пределу в обеих частях равенства при получим:

Отсюда получается простой способ составления таблицы разделенных разностей В первом столбце выписываем узлы интерполирования, причем каждый узел повторяем столько раз, какова его кратность. Во втором столбце выписываем соответствующие узлам значения функции. В третьем столбце помещаем разделенные разности, если соответствующие аргументы не совпадают, или первые производные, если аргументы совпадают. В четвертом столбце помещаем разделенные разности второго порядка, если они вычисляются так же, как это делалось ранее для обычных разделенных разностей, или же производные второго порядка, деленные на если аргументы, на которые нужно делить, совпадают. Продолжая так же и дальше, мы сумеем заполнить всю таблицу. Так, для примера, приведенного на стр. 166, таблица будет выглядеть следующим образом:

(см. скан)