2. Теоремы о порядке приближения с помощью многочленов Бернштейна.

Из теоремы Вейерштрасса следует, что стремится к нулю при Некоторое представление о порчдке стремления к нулю дадут приведенные ниже теоремы для многочленов Бернштейна. Более точные оценки будут приведены позже.

Говорят, что функция удовлетворяет на отрезке [0, 1] условию Липшица с константой если для любых имеет место неравенство

Докажем теорему:

Если функция удовлетворяет на отрезке [0, 1] условию Липшица с константой то

Заметим, что

и в силу условия Липшица

По неравенству Буняковского

В силу тождества (1) и неравенства (3) правая часть не превосходит . Следовательно, при всех имеет место неравенство

а отсюда следует:

Показано, что порядок этой оценки улучшить нельзя.

Естественно ожидать, что чем больше требований мы наложим на функцию тем быстрее будет стремиться к нулю отклонение Однако это не совсем так.

Приведем без доказательства следующую теорему: Если функция имеет в точке х конечную производную второго порядка то

где стремится к нулю при возрастании

Из этой теоремы следует, что во всех случаях, за исключением случая, когда линейная функция, порядок стремления к нулю уклонения не может быть больше

Интересно отметить, что при некоторых дополнительных условиях на функцию будет иметь место не только равномерная сходимость многочленов Бернштейна к функции но и сходимость их производных к соответствующим производным функции. Так имеет место следующая теорема:

Теорема. Если функция всюду на [0, 1] имеет непрерывную производную то равномерно сходится к

В самом деле,

Но

Отсюда

По формуле Лагранжа о конечных приращениях

поэтому

или

В правой части последнего равенства первая сумма представляет из себя многочлен Бернштейна порядка для производной и будет равномерно сходиться к на отрезке [0, 1]. Далее, так как

то

В силу равномерной непрерывности для любого заданного для всех начиная с некоторого будет иметь место неравенство

при всех В силу этого неравенства и тождества (1) вторая сумма при будет меньше а это означает, что вторая сумма равномерно на [0, 1] сходится к нулю, а следовательно, равномерно сходится к

Справедлива и более общая теорема:

Если имеет на [0, 1] непрерывную производную порядка то равномерно на [0, 1] сходится к

Как следует из теоремы Вейерштрасса, при Порядок этого стремления будет зависеть от структурных свойств функции и сам в свою очередь определяет эти свойства. Мы позже посвятим этому отдельный параграф.