2. Теоремы о порядке приближения с помощью многочленов Бернштейна.
Из теоремы Вейерштрасса следует, что
стремится к нулю при
Некоторое представление о порчдке стремления к нулю
дадут приведенные ниже теоремы для многочленов Бернштейна. Более точные оценки будут приведены позже.
Говорят, что функция
удовлетворяет на отрезке [0, 1] условию Липшица с константой
если для любых
имеет место неравенство
Докажем теорему:
Если функция
удовлетворяет на отрезке [0, 1] условию Липшица с константой
то
Заметим, что
В самом деле,
Но
Отсюда
По формуле Лагранжа о конечных приращениях
поэтому
или
В правой части последнего равенства первая сумма представляет из себя многочлен Бернштейна
порядка для производной
и будет равномерно сходиться к
на отрезке [0, 1]. Далее, так как
то