§ 14. Применение интерполирования для составления таблиц

Теория интерполирования имеет большие приложения при составлении таблиц функций. Получив задание на составление таблиц тех или иных функций, математик должен решить перед началом вычислений ряд вопросов. Должна быть выбрана формула, по которой будут производиться вычисления. Эта формула может изменятся от участка к участку. Обычно формулы для вычисления значений функции, использующие способ задания функции, бывают громоздкими и поэтому их используют для получения некоторых опорных значений и затем путем субтабулирования сгущают таблицу. Формула, дающая опорные значения функции, должна обеспечивать нужную точность таблиц с учетом последующего субтабулирования. Если предполагается составить таблицы с постоянным шагом, то должен быть определен шаг таблицы. Шаг таблицы связан с двумя факторами: объемом таблиц и интерполяционной формулой, по которой будут вычисляться промежуточные значения уже в готовой таблице. Чем больше будет шаг, тем больше членов интерполяционной формулы придется использовать при пользовании этой таблицей на практике. Это создает некоторые неудобства при использовании таблицы. С другой стороны, чем меньше шаг, тем больше объем таблиц, что также не очень удобно. Математик должен как-то согласовать действие этих противоположных факторов с учетом средств вычислений, имеющихся в распоряжении потребителя. Если таблица должна быть введена в быстродействующую машину, то особенно важно уменьшить ее объем. При этом можно отказаться от постоянства шага и использовать, например, узлы Чебышева на отдельных участках, для которых, как мы видели, получается наилучшая оценка остаточного члена интерполяционной формулы. При определении шага таблицы будут иметь значение и такие факторы, как наличие вычислительных средств и время, отведенное на вычисления.

Мы не можем здесь входить в детали каждого из поставленных вопросов и остановимся лишь на выборе шага и субтабулировании,

Чаще всего таблицы функций составляются так, чтобы была допустима линейная интерполяция (т. е. интерполяция с использованием первых двух членов формулы). В этом случае остаточный член будет иметь вид

Здесь 5 принадлежит интервалу между двумя соседними табличными значениями аргумента, в котором лежит заключено между 0 и 1. Произведение принимает наибольшее по модулю значение при Это значение равно Следовательно,

Чтобы ошибка интерполирования не превышала по абсолютной величине а, необходимо выбирать удовлетворяющим условию

Нужно помнить, что наряду с этой ошибкой — ошибкой метода, при практическом вычислении промежуточных значений будут возникать еще неустранимая погрешность и погрешность округлений. Как мы видели ранее, неустранимая погрешность при линейной интерполяции будет равна погрешности табулированных значений функций. Погрешность округления будет зависеть от вычислительных средств и от программы вычислений. Поэтому здесь мы ее касаться не будем.

Совершенно аналогично можно исследовать квадратичную интерполяцию и интерполяцию более высоких порядков. Если, например, используется интерполяционная формула Эверетта, то остаточный член будет иметь вид

и в этом случае наибольшее значение для на [0,1]

будет достигаться при Это значение равно Таким образом,

и для того чтобы ошибка квадратичной интерполяции не превышала а, нужно, чтобы шаг удовлетворял условию

И здесь, кроме этой ошибки метода, возникают неустранимая ошибка и ошибка округления. Неустранимая ошибка будет такова же, как

и для формулы Гаусса, взятой до третьих разностей. Как видно из приведенной ранее таблицы, неустранимая погрешность не может больше чем в 1,4 раза превысить абсолютные погрешности табулированных значений.

Аналогично можно исследовать и другие формулы. Рассмотрим теперь вопрос о субтабулировании. Как применяется формула Эверетта для субтабулирования, мы уже знаем. Приведем здесь еще один способ субтабулирования.

Пусть данные последовательные значения функции, соответствующие шагу аргумента, равному их разности. Предположим, что нам нужно сгустить таблицу в раз, т. е. новый шаг будет . Обозначим новые значения функции соответственно

Здесь последовательные значения функции между Будем для определенности считать, что разности пятого порядка исходных значений функции постоянны. Найдем выражения для разностей значений функции с новым шагом через разности с прежним шагом. Для этого используем операторное исчисление, примененное нами ранее для вывода интерполяционных формул. По формуле Ньютона для интерполирования вперед будем иметь:

Обозначим через разность с шагом Тогда

Таким образом, операторы связаны следующим соотношением:

Следовательно, степени их будут связаны таким соотношением:

Отсюда последовательно получаем:

После того как получены разности, нетрудно, используя постоянство разностей пятого порядка, произвести субтабулирование. Сначала заполняем столбец пятых разностей, затем четвертых и т. д., пока не придем к значениям функции. Эти формулы, связывающие можно получить и без операторного исчисления. Рассмотрим, как это делается на примере. Возьмем те же значения которые мы использовали ранее в § 7, и получим таблицу с шагом в 30. Таблица исходных значений функции и их разностей выглядит следующим образом:

(см. скан)

В нашем случае Последовательно получаем:

Будем обозначать разности с новым шагом чертой сверху. Первые разности будут выражаться так через предыдущие разности:

Вторые разности будут иметь вид:

Третьи разности будут равны:

Подставляя сюда числовые значения, получим:

Далее вычисления проводим так же, как в § 6, где мы продолжали таблицу многочлена. Сначала заполняем столбец третьих разностей, затем вторых, первых и, наконец, столбец значений функции. В узловых точках записываем данные нам значения. Расхождения могут произойти за счет округлений. Таблица выглядит так

(см. скан)

Расхождения с точными значениями не превышают двух единиц, шестого знака, да и то в конце таблицы.