1. Теорема Вейерштрасса.

Изучим теперь, как ведет себя при Для этого предварительно докажем следующую теорему Вейерштрасса.

Если то для любого существует такой многочлен что при всех имеет место неравенство

Начнем с доказательства следующих тождеств:

Первое тождество следует из биноминальной формулы

если в ней положить Для доказательства второго представим левую часть его как сумму трех членов:

Последняя сумма в правой части в силу тождества (1) равна единице. Для второй суммы имеем, используя снова тождество (1):

Для первой суммы имеем:

Таким образом,

и тождество (2) доказано.

Из тождества (2) следует, что при имеет место неравенство

ибо при справедливо неравенство

Пусть теперь задано некоторое положительное число 8. Рассмотрим те значения А, для которых имеет место неравенство

где фиксированное число, Тогда справедливо неравенство

где означает суммирование по тем значениям для которых справедливо (4). В самом, деле, для этих значений

а следовательно, используя неравенство (3), имеем:

Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. Без ограничения общности можно считать, что отрезок совпадает с отрезком [0, 1], так как этого всегда можно достичь линейным преобразованием переменного х. Рассмотрим многочлен

который принято называть многочленом Бернштейна, и покажем, что при достаточно большом он удовлетворяет требованиям теоремы.

В силу первого тождества

откуда

Для оценки этой разности заметим, что в силу равномерной непрерывности функции на отрезке [0, 1] найдется такое что для любых имеет место неравенство

как только

Пусть любая фиксированная точка отрезка [0, 1]. Разобьем сумму, стоящую в правой части равенства (7), на две суммы:

где 2 означает суммирование по тем для которых и

где означает суммирование по остальным значениям Оценим каждую сумму в отдельности. Для получим, обозначая, как обычно, и применяя неравенство

Для будем иметь:

Выберем теперь настолько большим, чтобы выполнялось неравенство Тогда из неравенств и (11) получится

а это и следовало доказать.