1. Построение элемента наилучшего приближения.

Рассмотрим теперь вопрос о построении элемента наилучшего приближения.

Пусть подпространство порождено элементами элемент наилучшего приближения к как элемент может быть представлен в виде

Следовательно, задача построения элемента наилучшего приближения сводится к отысканию коэффициентов Мы видели, что

и только для этого элемента имеет место это свойство. Но это требование равносильно условиям:

Из этих условий для отыскания получим систему линейных алгебраических уравнений:

Определитель этой системы есть а так как линейно независимы, то он не равен нулю и система имеет единственное решение. Решая ее, мы найдем следовательно и Найдем теперь наилучшее приближение элемента т. е. величину Имеем:

Отсюда

Исключая отсюда и из системы для определения все получим:

Итак,

Заметим, что при При тогда будем иметь:

По индукции легко показать, что вообще определитель Грамма системы линейно независимых элементов положителен.

Построение элемента наилучшего приближения особенно просто, если ортонормированная система элементов, так как в этом случае система уравнений (5) примет вид

т. е. являются коэффициентами Фурье элемента по системе и элементом наилучшего приближения будет

Величина отклонения 3 может быть также легко вычислена:

т. е.

Наконец, рассмотрим в полную ортонормированную систему элементов и предположим, что -полное гильбертово пространство. Рассмотрим последовательность подпространств где порождено элементами Для будем последовательно находить элементы наилучшего приближения в При этом элементом наилучшего приближения для будет являться частичная сумма ряда Фурье для по ортонормированной системе функций Величина наилучшего приближения

стремится к нулю при а последовательность сходится к элементу