3. Остаточный член формулы Ньютона.

Остаточный член формулы Ньютона точно такой же, как и у формулы Лагранжа. Но его можно записать и в другой форме. Для этого рассмотрим

Отсюда

Итак,

Таким образом,

В частности, если имеет производную порядка то получим:

Здесь некоторая точка, принадлежащая наименьшему промежутку, содержащему все точки

Разделенная разность входящая в выражение остаточного члена, может быть найдена только в том случае, когда нам известно Но тогда нет большого смысла использовать интерполяционную формулу Ньютона. Однако в некоторых случаях последнюю форму остаточного члена можно использовать для фактической оценки погрешности, даваемой интерполяционной формулой Ньютона.

Пусть нам известно из каких-то дополнительных соображений, что разделенные разности порядков сохраняют постоянные знаки на рассматриваемом отрезке. Тогда используем равенства

Для данного всегда можно подобрать так, что будут иметь различные знаки. Если одинаковые знаки, то берем если они имеют разные знаки, то берем Но тогда, если взять вместо значения интерполяционных многочленов с членами, то получим в одном случае значение, большее в другом — меньшее. Следовательно, абсолютная величина ошибки, которая получается в результате использования первой формулы, не может превышать абсолютной величины

и имеет такой же знак, как и эта величина. В этом случае, если известно, мы можем фактически оценить

Рассмотрим еще один случай. Пусть на отрезке где берутся х и узлы интерполирования, функция имеет производную сохраняющую свой знак. Покажем, что в этом случае монотонная функция х на Для этого образуем

где некоторые точки отрезка В силу симметрии разделенных разностей относительно своих аргументов будем иметь:

а это есть не что иное, как разделенная разность порядка функции Но из равенства (12) получим:

Следовательно, сохраняет свой знак на Если то при любых будем иметь:

При и любых будем иметь:

В этих случаях может быть оценено, если нам известны

Как мы видели, для многочленов разделенные разности, начиная с некоторого порядка, обращаются в нуль. Для функций, не являющихся многочленами, этого не будет. Позже мы покажем, что для так называемых целых функций разделенные разности стремятся к нулю. Но эта картина будет нарушаться благодаря тому, что сами исходные данные обычно бывают приближенными, а в процессе вычисления разделенных разностей мы вынуждены делать округления. Чаще всего наблюдается такая картина: сначала разделенные разности убывают с повышением порядка, а затем ведут себя неправильно и снова растут.

Так, например, выглядит таблица разделенных разностей для функции

(см. скан)

Разности четвертого порядка будут вести себя неправильно, разности пятого и более высоких порядков снова начнут возрастать. Ясно, что нет большого смысла использовать их в вычислениях, так как они сильно искажены различными погрешностями.

Узлы интерполяции, лежащие ближе всего к интерполируемому значению х, окажут большее влияние на интерполяционный многочлен, лежащие дальше — меньшее. Поэтому целесообразно за взять ближайшие к х узлы интерполирования и произвести сначала линейную интерполяцию по этим узлам. Затем постепенно привлекать следующие узлы так, чтобы они возможно симметричнее располагались относительно х. Полученные при этом поправки будут обычно незначительны. Чтобы проиллюстрировать это, дадим здесь результаты вычислений по приведенной ниже таблице. При помощи интерполяционной формулы Ньютона были вычислены значения для углов . В первом столбце даны аргументы, во втором — результаты линейной интерполяции, в третьем — поправки за счет вторых и третьих разностей, в четвертом — окончательные результаты интерполяции и в пятом — точные значения с четырьмя десятичными знаками: