ГЛАВА 5. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

В данной главе, так же как и в гл. 2 и 4, будут рассмотрены вопросы приближения функций принадлежащих к некоторому классу функциями из более узкого класса но за меру близости будет приниматься величина

или

где заданная неотрицательная функция, называемая весом.

Такое понятие близости имеет смысл по следующим причинам:

1. Во многих случаях нет никакой необходимости требовать близости в каждой точке т. е. требовать равномерного приближения, а достаточно лишь «интегральной» близости функций.

2. Очень часто приближаемая функция задана лишь таблицей ее значений, причем последние получены из эксперимента, имеют случайные погрешности. Если в процессе решения задачи требуется находить значения для промежуточных значений или иметь аналитическое представление функции , то нецелесообразно прибегать к интерполированию, так как совсем не естественно требовать точного совпадения приближающей и приближаемой функций в некоторых точках, так как значения самой приближаемой функции неточны. Практика показывает, что приближающие функции, построенные по методу среднеквадратичного приближения, значительно лучше представляют реальную функцию чем интерполяционные многочлены

3. Так определенная мера близости позволяет расширить класс приближаемых функций. При рассмотрении равномерного приближения мы ограничивались классом С непрерывных функций, и это было существенное требование, если ставить задачу равномерного

приближения функции многочленами с любой заданной точностью. Здесь же требование непрерывности излишне. Нужно лишь требовать существования можно рассматривать приближение функций из класса функций, интегрируемых с квадратом с весом

Для упрощения изложения начнем его с общей задачи приближения в гильбертовом пространстве, а затем уже рассмотрим и конкретные вопросы среднеквадратичного приближения и их приложения.