§ 4. Формулы Ньютона — Котеса

1. Вывод формул.

В этом параграфе мы рассмотрим формулы для приближенного вычисления интегралов

которые получаются путем замены подынтегрального выражения интерполяционным многочленом Лагранжа с узлами, разбивающими промежуток интегрирования на равные части. Эти формулы носят название формул Ньютона — Котеса.

Пусть узлы интерполирования расположены так:

Здесь а либо совпадает с , и тогда будем предполагать, что либо и тогда предполагаем, что В первом случае узлы интерполирования не содержат точек с и а промежуток интегрирования разбивается этими узлами на равных частей. Во втором случае концы промежутка интегрирования являются узлами интерполирования и промежуток интегрирования разбивается узлами на равных частей. Формулы численного интегрирования, которые получатся в первом случае, будем называть формулами открытого типа, а во втором случае — формулами замкнутого типа. Чтобы не проводить рассуждения дважды, положим

Для формул открытого типа а для формул замкнутого типа Обозначим Тогда

Интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для функции по узлам при такой замене независимого переменного перейдет в

Таким образом,

Здесь через обозначены выражения

Они не зависят от промежутка интегрирования и могут быть вычислены раз и навсегда. Кроме того, вычисления облегчаются благодаря тому, что

т. е. разноотстоящие от концов коэффициенты формулы Ньютона — Котеса равны. В самом деле,

Заменяя под знаком интеграла у на получим:

что и требовалось доказать.

С возрастанием коэффициенты становятся все более и более громоздкими. Как было показано Р. О. Кузьминым,

с возрастанием неограниченно возрастает. Так как, с другой стороны,

то среди должны иметься значения различных знаков. Приведем числовые значения для различных Каждый из коэффициентов является рациональной дробью. Для сокращения таблиц мы будем брать знаменатели этих дробей при фиксированном одинаковыми и эти общие знаменатели указывать в последнем столбце. В предшествующих столбцах будут даны только числители.

(формулы замкнутого типа):

(см. скан)

(формула открытого типа)

(см. скан)

2. Остаточные члены формул.

Исследуем теперь остаточные члены формул Ньютона — Котеса. Как мы видели, они имеют вид:

Преобразуем интеграл, стоящий в правой части. Возьмем сначала и рассмотрим

Введем вспомогательную функцию

Очевидно, Точно так же и . В самом деле,

Произведем замену переменных под знаком интеграла, положив

Тогда

Отсюда и следует утверждение. Покажем далее, что нигде не обращается в нуль на интервале Для этого исследуем сначала подынтегральную функцию

На отрезке она обращается в нуль в точках и только в них. Она меняет знак при переходе через эти точки. Далее,

т. е. график этой функции центрально симметричен относительно точки Покажем, что абсолютные величины интегралов

убывают, когда возрастает от нуля до самом деле,

Произведем замену Тогда

Так как не меняет знака на отрезке то

где Но

Итак,

и

Отсюда и следует, что при

Вернемся к исследованию Произведем в (11) интегрирование по частям. Получим:

так как

В силу знакопостоянства можно применить теорему о среднем. Поэтому

или после замены разделенной разности производной

Рассмотрим теперь случай четного При этом

Разобьем последний интеграл на сумму двух интегралов:

Заменим в произведение на равное ему, в силу определения разделенных разностей, выражение

При

так как

можно применить теорему о среднем, так как на отрезке не меняет знака. Следовательно,

Отсюда для получаем следующее выражение;

Это выражение можно преобразовать так, что оно будет содержать лишь одну производную что более выгодно при производстве оценок. Покажем, что

имеют одинаковые знаки. Рассмотрим два случая: При имеем:

Подынтегральное выражение при отрицательно. Поэтому Рассмотрим

Здесь

Мы уже знаем, что на интервале функция не меняет знака. Далее,

на интервале положительна. Следовательно, и поэтому при всех Но тогда т. е. имеет такой же знак, что и Пусть теперь Тогда

Так как подынтегральное выражение положительно при то Теперь

Функция

не меняет знака на интервале Но при подынтегральное выражение отрицательно. Следовательно, для всех Но тогда и опять имеет такой же знак, что и

Воспользовавшись свойством производной принимать все промежуточные значения и тем, что и имеют одинаковые знаки, мы можем записать:

Выразим теперь производные от функции через производные от функции Очевидно,

Следовательно,

Окончательно получаем следующие формулы численного интегрирования с остаточными членами: при

и при

Приведем значения коэффициентов при производных в выражениях остаточных членов для различных значений

(см. скан)

Как видно из приведенной таблицы, формулы с нечетным числом ординат имеют, вообще говоря, преимущество в смысле точности.