§ 10. Интерполирование периодических функций

В тех случаях, когда интерполируемая функция обладает свойством то естественно на базисные функции накладывать такое же ограничение Такие функции можно рассматривать как периодические с периодом Для периодических функций можно также ввести понятие систем Чебышева на отрезке Совокупность функций удовлетворяющих условию будем называть периодической системой Чебышева на отрезке если любая линейная комбинация

не все коэффициенты которой нули, имеет на не более корней при условии, что считаются за один корень.

Докажем, что порядок периодических систем Чебышева должен быть четным. Для доказательства рассмотрим определитель

где некоторые точки отрезка при уменьшая общности, мы можем предполагать, что ни одна из точек не совпадает ни с а, ни с В противном случае мы воспользовались бы периодичностью функций и сдвинули бы наш отрезок на некоторую величину вправо или влево.

Если функции составляют систему Чебышева, то не может обращаться в нуль ни в одной точке за исключением в которых, конечно, он равен нулю. Докажем, что в этом случае меняет знак при переходе через каждое из Предположим, что это не так и точка, при переходе через которую не меняет знака. Тогда рассмотрим определитель построенный так же, за исключением столбца, в котором заменены на где произвольная точка отличная от всех также является линейной комбинацией Она отлична от нуля в точке а в силу непрерывности функций и в некоторой окрестности Рассмотрим функцию

где X — некоторое действительное число, имеющее такой знак, что в некоторой окрестности имеют одинаковые знаки. Обозначим через наименьшее расстояние между точками Выберем X настолько малым по абсолютной величине, что имеет такой же знак, как и . Тогда имеет в точках чередующиеся знаки и, следовательно, имеет по крайней мере два корня на интервале того, обращается в нуль в точках Таким образом, эта функция имеет на отрезке корней. Но она является линейной комбинацией не равной тождественно нулю. Следовательно, она не может обращаться в нуль на отрезке более чем в точках. Мы пришли к противоречию. Таким образом, мы доказали, что при переходе через каждую из точек меняет знак.

В силу периодичности Итак, при возрастании х от а до определитель раз меняет знак и приходит

к прежнему значению. Это может быть только в том случае, когда четное число.

Простейшей периодической системой Чебышева является система

Период этой системы равен Мы можем ее использовать и для интерполирования функций, имеющих другой период. Для этого нужно только предварительно линейной заменой независимого переменного сделать длину периода равной В силу предыдущих рассуждений мы должны рассматривать систему

Покажем, что такая система функций при любом образует периодическую систему Чебышева. Для этого рассмотрим произвольный тригонометрический многочлен

коэффициенты которого комплексные или действительные числа. Будем говорить, что этот тригонометрический многочлен имеет порядок если по крайней мере один из коэффициентов или отличен от нуля. Если то имеет ровно корней в полосе Действительно, производя замену независимого переменного мы получим:

где при при является алгебраическим многочленом степени относительно z. В силу наших предположений относительно коэффициентов коэффициенты при этого многочлена отличны от нуля. Следовательно, он имеет ровно корней и ни один из корней не равен нулю. Каждому из этих корней в силу определения будет соответствовать одно и только одно значение х, принадлежащее полосе Это и будут корни Других корней иметь не может. Если условия, которые мы накладывали на не выполнены, то может иметь в нашей полосе менее нулей.

Как следствие предыдущих рассуждений получаем: если два тригонометрических многочлена совпадают в точках при то они совпадают тождественно.

Перейдем теперь к фактическому отысканию тригонометрических интерполяционных многочленов. Пусть нам заданы узлов

принадлежащих полуотрезку [0, Определитель в нашем случае примет вид

Найдем величину этого определителя. Для этого представим каждую из тригонометрических функций в показательной форме. При этом получим:

Преобразуем этот определитель, вынося из столбцов общие множители или и прибавляя к каждому столбцу с четным номером столбец с нечетным номером, на единицу большим. В результате будем иметь:

Вынесем двойки за знак определителя из столбцов с четными номерами и вычтем эти столбцы из столбцов с нечетными номерами, на единицу большими. В полученном определителе

вынесем из каждой строки В результате этого найдем:

Теперь переставим столбцы так, чтобы получился определитель Вандермонда. При этом придется произвести транспозиций, а определитель примет вид

Как известно, такой определитель равен:

а это выражение легко приводится к тригонометрическому виду:

Пусть искомый тригонометрический многочлен имеет вид

Условия, налагаемые интерполяцией, можно записать в виде

Будем рассматривать равенства (2) и равенство (1) как систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов при и при Эта система имеет нетривиальное решение (коэффициенты

при равны —1). Следовательно, определитель системы равен нулю:

Раскрывая этот определитель по элементам первого столбца, получим:

Здесь означает определитель в котором 1-я строка заменена первой строкой из написанного выше определителя. Так как эти определители имеют такое же строение, как и определитель то мы получим после очевидных сокращений:

Что это действительно тригонометрический многочлен, обнаруживается простыми тригонометрическими преобразованиями. В числителе каждого слагаемого мы имеем произведение множителей вида Произведение двух таких множителей дает

т. е. тригонометрический многочлен первого порядка. Теперь докажем, что произведение двух тригонометрических многочленов соответственно порядков тип даст тригонометрический многочлен порядка Действительно, в это произведение войдут члены вида Но

Если коэффициенты многочлена обозначить через и а коэффициенты многочлена буквами и то коэффициент

при в произведении будет равен а коэффициент при По крайней мере один из этих коэффициентов отличен от нуля. Это и доказывает утверждение. Таким образом, каждое слагаемое написанной интерполяционной формулы является тригонометрическим многочленом порядка и и, следовательно, вся сумма также является тригонометрическим многочленом порядка не выше

Выполнение интерполяционных условий проверяется непосредственно. Таким образом, решает поставленную задачу. Можно было бы не производить выкладок с определителями, а сразу написать выражение для и проверить, что все условия будут выполнены.

Приведем пример на применение полученной интерполяционной формулы.

Построить тригонометрический многочлен второго порядка, который бы в точках принимал соответственно значения . В этом случае получим:

Числитель первой дроби будет равен

Знаменатель ее равен

Итак, первая дробь равна

Числитель второго слагаемого даст

а знаменатель

а второе слагаемое равно

Числитель третьего слагаемого равен

а знаменатель

и третье слагаемое равно

Складывая найденные выражения для каждого из слагаемых, получим:

Проверкой убеждаемся, что действительно этот многочлен удовлетворяет всем условиям.

Если интерполируемая функция четная, то естественно искать четный интерполирующий многочлен. Точно так же для нечетных интерполируемых функций естественно разыскивать нечетный интерполирующий многочлен.

Рассмотрим сначала случай четных функций Пусть задана на отрезке В качестве базисной системы интерполирующих функций возьмем

Каждая из функций этой системы также четная. Поэтому мы можем задавать узлы интерполирования на какой-нибудь из половин рассматриваемого отрезка. Выберем полуотрезок Пусть на нем заданы узлы соответствующие им значения функции Если среди узлов имеется точка 0, то будем считать, что она соответствует Построим

тригонометрический интерполяционный многочлен порядка принимающий в точках соответственно значения Мы можем применить предыдущие рассуждения, так как длина отрезка равна . При этом получим:

(см. скан)

Используем формулы

и

Дробь, стоящая в первом слагаемом, примет вид

Объединим члены с одинаковыми в первой и второй суммах. Они будут иметь общий множитель

Члены, стоящие при этом общем множителе, дадут

Таким образом, в этом случае будет иметь вид

Это будет четный многочлен, принимающий при значения

Приведем следующий числовой пример.

Построить четный тригонометрический многочлен, который при принимает соответственно значения 2, 1, 0.

В этом случае будем иметь:

Совершенно аналогично можно построить нечетный многочлен, который при принимает значения

Для этого будем строить тригонометрический многочлен порядка который в точках принимает соответственно значения в этом случае

Как и прежде, обнаружим, что если объединить члены с одинаковыми то можно будет вынести общие множители:

Коэффициентами при этих общих множителях будут

Итак, окончательное выражение для будет иметь вид

Это будет нечетный тригонометрический многочлен, принимающий при значения Приведем и для этого случая числовой примео.

Построить нечетный тригонометрический многочлен, который при принимает значения По общей форме будем иметь:

Проверкой убеждаемся, что этот многочлен удовлетворяет поставленным условиям.

Как мы видели, практическое построение тригонометрических интерполяционных многочленов чрезвычайно громоздко. Естественно ожидать, что если узлы равноотстоящие, то задача упростится. Построение тригонометрических многочленов для случая равноотстоящих узлов составляет задачу гармонического анализа. К этому вопросу мы еще вернемся в разделе среднеквадратичных приближений.

Так как последние две задачи имеют всегда единственное решение, то системы функций первая на а вторая на образуют системы Чебышева.