§ 3. Алгебраические многочлены наилучшего равномерного приближения

Как уже известно из второй главы, функции образуют систему Чебышева на любом отрезке Следовательно, вся полученная нами теория наилучших приближений применима к этой системе функций. Обозначим через множество всех алгебраических многочленов степени не выше Если некоторая непрерывная на функция, а то отклонение от на т. е.

будем обозначать Нижнюю грань значений когда пробегает все множество обозначим через и будем называть наименьшим отклонением. На основании результатов предыдущих параграфов можно утверждать, что существует

единственный многочлен для которого На отрезке имеется точек

в которых разность поочередно принимает значения Для обнаружения того, что некоторый многочлен является многочленом наилучшего приближения для функции на достаточно проверить, что на найдутся такие точек

в которых поочередно принимает значения (Здесь мы не требуем, чтобы было наименьшим отклонением.) Этим свойством часто удается воспользоваться для фактического отыскания многочленов наилучшего приближения. Так, например, можно утверждать, что для функции на отрезке многочленом наилучшего приближения в будет Действительно,

и

достигает последовательно значений +1 и — 1 в точках

т. е. в восьми точках.

Вспомним также многочлены Чебышева, наименее отклоняющиеся от нуля, о которых говорилось во второй главе. Эти многочлены можно получить здесь, решая следующую задачу.

Найти многочлен наименее уклоняющийся от функции на отрезке ]. Как мы видели ранее,

является многочленом степени со старшим коэффициентом, равным единице. Этот многочлен на отрезке имеет экстремальные значения и — и достигает этих экстремальных значений поочередно в точках

Представляя в виде

мы и найдем