2. Остаточный член формул Гаусса.

Исследуем теперь остаточный член полученных формул численного интегрирования. Пусть произвольная, достаточное количество раз дифференцируемая функция. Построим интерполяционный многочлен Эрмита, принимающий в точках (корнях значения и имеющий в этих точках производные, равные соответственно Если обозначить этот многочлен через то

Многочлен имеет степень Следовательно,

Таким образом, остаточный член будет иметь вид

Так как не меняет знака на то

И в этом случае при можно упростить выражение для интеграла, стоящего в правой части. Будем иметь:

Далее, снова применяя последовательное интегрирование по частям, получим:

Итак, при