5. Формулы численного интегрирования Маркова.

Если пользоваться классификацией, приведенной в предыдущем параграфе, то формулы численного интегрирования Гаусса следует отнести к формулам открытого типа, так как концы отрезка интегрирования не принадлежат к числу узлов. А. А. Марков рассмотрел формулы численного интегрирования, для которых обращается в нуль, когда является произвольным многочленом степени при дополнительном требовании, что либо либо и формулы численного интегрирования, для которых обращается в нуль, когда является произвольным многочленом степени при дополнительном требовании, что

Рассмотрим сначала первый случай. Обозначим через многочлен степени со старшим коэффициентом 1, корни которого равны искомым узлам. Рассуждениями, как и при выводе формул Гаусса, покажем, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы удовлетворял поставленным условиям, будет

где произвольный многочлен степени Отсюда

Поэтому может лишь постоянным множителем отличаться от

Для получения постоянной положим в этом равенстве Получим:

Итак,

И в этом случае имеетга действительных корней, один из которых равен а, а остальные расположены между Доказательство полностью совпадает с тем, которое проводится в главе 5 для

Для отыскания коэффициентов формулы численного интегрирования возьмем в качестве функцию

где один из корней уравнения многочлен степени Поэтому

и

Остаточный член будет иметь вид:

Аналогично можно построить формулу численного интегрирования

где - корни уравнения

Наконец, в последнем случае узлы будут корнями уравнения где

Коэффициенты формулы

определятся из равенств

и остаточный член будет иметь вид:

Приведем значения для некоторых значений при

В заключение приведем вычислительный пример на применение формул Гаусса и Маркова.

Пример. Вычислить по формулам Маркова и Гаусса интеграл

Преобразуем интеграл к промежутку Получим:

В формуле Гаусса:

Вычисления дают Все знаки верны. В формуле Маркова:

Вычисления дают