§ 4. Методы вычислений как раздел вычислительной математики. Краткое содержание курса

В одной книге невозможно изложить или хотя бы кратко затронуть весь круг вопросов современной вычислительной математики, поэтому мы ограничились кругом вопросов, относящихся к одному разделу вычислительной математики — методам вычислений.

Чтобы более ясно охарактеризовать вопросы, относящиеся к этому разделу вычислительной математики, рассмотрим процесс решения любой математической задачи, если ее решение необходимо довести до числового результата, используя наличные вычислительные средства. Этот процесс можно разбить на два крупных этапа. Первый этап — выбор численного метода решения задачи или, как мы говорили ранее, замена задачи где х и у принадлежат к некоторым функциональным пространствам функция, определенная на задачей более удобной для вычислительных целей, но решение которой в некотором смысле близко к решению исходной задачи. Второй этап — составление вычислительной схемы (при ручном счете) или

программы решения задачи машинном счете) и сам процесс счета.

Для первого этапа необходимо наличие разработанных методов численного решения основных математических задач и должен быть известен сравнительный анализ различных методов решения одной и той же задачи с точки зрения их точности, границ применимости и целесообразности их реализации на тех или иных вычислительных машинах.

Разработка и анализ этих методов и составляют предмет методов вычислений, а их описание и обоснование составляют содержание настоящей книги.

В первой главе книги изложены основные правила действий с приближенными величинами и правила оценки их точности. В главах 2—5 изложены основные способы приближения функций (интерполирование, равномерное и среднеквадратичное приближение функций) и их приложения. В главе 3 изложены численные методы дифференцирования и интегрирования. В главах 6 и 8 описаны численные методы решения основных задач линейной алгебры: решение систем линейных алгебраических уравнений, обращение матриц, вычисление собственных значений и собственных векторов матриц. В главе 7 изложены способы численного решения алгебраических уравнений высоких степеней и трансцендентных уравнений. Наконец, главы 9 и 10 посвящены численным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений. Более подробное содержание книги видно из ее оглавления.

В том или ином объеме эти вопросы излагаются во многих книгах и монографиях, а также в обширной журнальной литературе. Первым в мировой литературе курсом методов вычислений явилась книга академика А. Н. Крылова «Лекции о приближенных вычислениях», изданная в 1911 г. Этот курс не потерял своего значения и сейчас, но он естественно во многом устарел и не охватывает многих важных в настоящее время вопросов. Элементарным курсом методов вычислений, рассчитанным на инженеров и техников, является книга Я. Безиковича «Приближенные вычисления», первое издание которой относится к 1924 г. Неоднократно переиздавалась монография Л. В. Канторовича и В. И. Крылова «Приближенные методы высшего анализа», в которой описаны приближенные методы решения задач математической физики.

Из других, сравнительно давно изданных книг следует указать монографии В. Л. Гончарова «Теория интерполирования и приближения функций», Н. П. Натансона «Конструктивная теория функций», русский перевод книги Скарборро «Численные методы математического анализа». В послевоенные годы издан ряд отечественных и переводных книг и монографий, относящихся к этой области: В. Н. Фаддеева «Вычислительные методы линейной алгебры».

Ш. Е. Микеладзе «Численные методы математического анализа», Милн «Численный анализ» и «Численное решение дифференциальных уравнений», Коллатц «Численные методы решения дифференциальных уравнений», Хаусхолдер «Основы численного анализа», В. С. Рябенький и А. Ф. Филиппов «Об устойчивости разностных уравнений», В. И. Крылов «Приближенное вычисление интегралов», Д. К. Фаддеев и В. Н. Фаддеева «Вычислительные методы линейной алгебры», Э. Д. Бут «Численные методы», В. К. Саульев «Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток», Р. Д. Рихтмайер «Разностные методы решения краевых задач», К. Ланцош «Практические методы прикладного анализа», Б. П. Демидович и И А. Марон «Основы вычислительной математики», Г. Н. Положий и др. «Математический практикум» и другие. Но ни одна из указанных выше книг не охватывает всех вопросов методов вычислений и не соответствует программе курса методов вычислений, читаемого студентам университетов, специализирующимся по вычислительной математике, и не может быть рекомендована в качестве основного учебного пособия по этому курсу.

Данная книга представляет попытку создания учебного пособия, отвечающего действующим университетским программам курса методов вычислений, и, как уже указывалось в предисловии, в основу ее легли лекции, читанные авторами на протяжении ряда лет в Московском университете.

Учитывая широкое использование цифровых вычислительных машин в практике расчетов в настоящее время, мы делали основной упор на численные методы решения задач и совсем мало касались аналитических методов приближенного решения математических задач. Там, где возможно, мы старались дать достаточно строгое обоснование излагаемых методов и хотя бы на простых примерах привести их иллюстрацию. Вполне естественно мы не могли и не ставили своей целью изложить все существующие методы решения даже основных математических задач, но старались подробно изложить наиболее распространенные или с нашей точки зрения перспективные. Многие очень важные вопросы, особенно вопросы оценки точности методов, мы не смогли изложить в книге, так как они еще не нашли полного решения.