§ 3. Погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

1. Остаточный член формулы Лагранжа и его оценки.

Если все вычисления произведены точно, то интерполяционный многочлен Лагранжа совпадает с заданной нам функцией в узлах интерполяции Однако, вообще говоря, он будет отличен от нее в остальных точках. Исключение представляет тот случай, когда сама функция является многочленом степени не выше . В последнем случае будут тождественно совпадать.

Так как значения могут оказаться приближенными, то возникнет дополнительная погрешность.

Кроме того, в процессе вычислений будет возникать новая погрешность за счет округлений.

Первая погрешность даст нам погрешность метода, вторая — неустранимую погрешность и третья — погрешность округления.

Начнем с изучения погрешности метода. Здесь мы должны сузить класс функций так как произвольная функция, совпадая с в узлах интерполяции, может как угодно отличаться от неаг в остальных точках. Можно было бы наложить на функции сравнительно небольшие ограничения, но это будет связано с громоздкими выкладками при оценке погрешности. Мы наложим на жесткие ограничения, а именно будем считать, что интерполируемая функция обладает на непрерывными производными до порядка и производная дифференцируема на Такие предположения будут выполнены для большинства случаев, с которыми приходится сталкиваться на практике. Для оценки погрешности рассмотрим вспомогательную функцию

где -некоторая постоянная. Очевидно, . Подберем К так, чтобы где та точка, для которой мы производим оценку, также обращалась бы в нуль. Это возможно, так как тогда

а знаменатель этой дроби отличен от нуля, ибо Функция обращается в нуль на точках Следовательно, на основании теоремы Ролля

производная обращается в нуль по крайней мере раз на интервале Пусть эти значения будут:

Применим снова теорему Ролля к функции Получим по крайней мере точек таких, что

Продолжая этот процесс дальше, найдем, что существует по крайней мере одна точка на интервале в которой

но

так как производная порядка от многочлена степени равна нулю, а производная от многочлена степени со старшим коэффициентом 1 равна Положив в последнем равенстве получим:

Отсюда

или, полагая получим:

Эти два выражения могут служить оценкой отклонения от если производная может быть оценена. Приведем примеры таких оценок.

Пример. Оценить, с какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа если известны значения

В данном случае

Пример. С какой точностью можно вычислить по формуле Лагранжа, если известны значения

В данном случае