3. Коэффициенты формул Гаусса.

Найдем теперь выражения для коэффициентов при полученных формул численного интегрирования. Для этого рассмотрим функцию

Квадрат этой функции является многочленом степени Следовательно,

Отсюда

Отметим здесь же, что все сположительны.

При можно получить более удобные выражения для Для этого применим к числителю правило интегрирования по частям. Будем иметь:

Подсчитаем значения и По формуле Лейбница имеем:

Отсюда

и

Таким образом,

Функция

является многочленом степени Поэтому

Итак,

Отсюда

Это и есть искомые выражения для коэффициентов

Произведем в замену х на Получим:

т. е. симметрична относительно прямой Отсюда следует, что и корни уравнения будут симметричны относительно точки Но тогда, если занумеровать их в порядке возрастания

то получим:

Следовательно,

т. е. коэффициенты при будут совпадать.

Полученные здесь формулы численного интегрирования были впервые найдены Гауссом. Поэтому мы будем называть их формулами Гаусса.

Было бы невыгодно каждый раз, как нам нужно использовать формулу численного интегрирования Гаусса, заново находить вычислять корни уравнения и подсчитывать коэффициенты Для случая и отрезка интегрирования такие вычисления были произведены для различных Произвольный отрезок может быть приведен к отрезку простой заменой переменной интегрирования:

Приведем некоторые значения коэффициентов с и абсцисс для формул численного интегрирования

(см. скан)

(см. скан)

Как видно из этой таблицы, коэффициенты абсциссы очень громоздки. Поэтому формулы Гаусса следует применять в тех случаях, когда требуется большая точность и значения функции при большом числе аргументов получить затруднительно.