1. Ортогональные системы многочленов.
Метод ортогонализации, изложенный в § 2, позволяет построить ортогональную в 
систему многочленов
в точности многочлен 
степени) последовательно возрастающих степеней, т. е. многочленов, для которых имеют место соотношения
Покажем, что с точностью до постоянных множителей эта система единственна. В самом деле, пусть
-две ортогональные в 
системы многочленов последовательно возрастающих степеней. Докажем, что
Сначала покажем, что многочлены различных степеней и разных систем ортогональны, т. е.
Не ограничивая общности, можно считать, что 
Многочлен 
можно единственным образом представить в виде
Отсюда, учитывая (13),
так как Докажем, что в представлении 
через многочлены 
все коэффициенты а при 
равны нулю. Для этого рассмотрим интеграл
где 
С одной стороны, по доказанному, этот интеграл равен нулю, а с другой стороны,
Так как интеграл в правой части отличен от нуля, то 
Итак, 
при всех 
т. е.
и требовалось доказать.
Если ввести еще какие-либо дополнительные условия на ортогональные многочлены, например потребовав, чтобы коэффициент при старшей степени всегда равнялся единице или чтобы коэффициент при старшей степени был положителен, а норма многочлена равнялась единице, то система ортогональных многочленов на данном отрезке 
при заданном весе 
будет единственна в полном смысле этого слова.
Вполне естественно, что с изменением веса 
а также отрезка 
мы будем получать разные системы ортогональных многочленов.
Когда ортогональная система многочленов 
будет построена, то многочлен наилучшего приближения 
запишется в виде
где коэффициенты (на основании общей теории) запишутся в виде
Величина наилучшего приближения определится по формуле
