2. Вывод формулы Ньютона для неравных промежутков.

Перейдем теперь к выводу формулы Ньютона. Пусть — узлы интерполирования и интерполяционный многочлен Лагранжа, построенный для этой функции по узлам Тогда

Рассмотрим отдельную разность, стоящую в правой части, Это будет многочлен степени Он обращается в нуль в точках Поэтому (А — постоянная). Для определения величины А положим При этом получим:

Итак,

Отсюда

Эта форма записи интерполяционного многочлена Лагранжа и носит название интерполяционного многочлена Ньютона для неравных промежутков. Она более удобна для вычислений, чем формула Лагранжа. Добавление одного или нескольких узлов не приводит к повторению всей проделанной работы заново, как это было при вычислениях по формуле Лагранжа. Применим эту формулу к тем же примерам, которые были приведены в § 2.

(см. скан)

(см. скан)

Если раскрыть скобки в полученных выражениях и расположить их по степеням х, то получим то же самое, что и в § 2.

При помощи интерполяционной формулы Ньютона можно получить представление разделенных разностей в виде отношения определителей. Действительно, как мы видели в § 1, коэффициенты при в интерполирующей функции равны где получаются из путем замены столбца столбцом В частности, при и узлах интерполирования коэффициент при будет равен

Коэффициент же при в интерполяционной формуле Ньютона для неравных промежутков равен Таким образом,

Из этого выражения нетрудно получить все те свойства разделенных разностей, о которых говорилось ранее.