§ 6. Интерполяционные формулы Ньютона для равных промежутков

Естественно ожидать, что если промежутки между последовательными узлами интерполирования равны, т. е. постоянная величина, то предыдущая формула упростится. Так оно и есть на самом деле. Прежде чем переходить к выводу формул, для этого случая введем понятне о конечных разностях.

1. Конечные разности и их свойства.

Пусть для значений - шаг таблицы), нам известны значения функции Назовем тогда разности

конечными разностями первого порядка.

В литературе используются самые различные обозначения конечных разностей:

Мы будем пользоваться последним обозначением.

Из разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка:

Аналогично можно образовать разности третьего порядка, четвертого и так далее. Таблицу разностей обычно располагают следующим образом:

(см. скан)

Так, например, таблица конечных разностей для функции будет выглядеть следующим образом:

(см. скан)

Практические вычисления требуют наличия контролирующих операций на всех этапах работы. Это застрахует от грубых просчетов или по крайней мере сведет их к минимуму. Такие контролирующие операции чрезвычайно просто получаются при составлении таблицы разностей. Очевидно,

т. е. сумма чисел в каждом столбце разностей равна разности крайних чисел предыдущего столбца. Поэтому целесообразно ввести в дополнение к таблице еще две строки: строку равную сумме чисел, стоящих в столбце, и строку равную разности крайних чисел столбца, и использовать предыдущие рассуждения. Для предыдущего примера эти строки будут таковы:

(см. скан)

В некоторых интерполяционных формулах используют наряду с теми значениями и разностей, которые у нас имеются, еще

средние арифметические:

В тех случаях, когда для обозначения разностей употребляют значок , для средних арифметических используют значок Так, последний столбец в этих обозначениях будет выглядеть следующим образом:

Разберем теперь некоторые свойства конечных разностей. Прежде всего найдем выражение разности любого порядка непосредственно через значения функции. Будем иметь:

Покажем, что общее выражение для будет:

Для 1, 2, 3 эта формула верна, что видно из предыдущих выражений. Предположим, что она верна для всех и докажем, что тогда она справедлива и для Разность порядка будет равна

Но

Следовательно,

что и требовалось доказать.

Из полученной формулы, в силу линейной зависимости от выводим:

Следствие 1. Конечные разности суммы или разности функций равны сумме или разности конечных разностей функций

Следствие 2. При умножении функции на постоянный множитель конечные разности умножаются на тот же множитель.

Установим еще связь между конечными разностями и разделенными разностями для того случая, когда — постоянна. Будем иметь:

Вообще,

Доказательство опять будем вести методом индукции. Предполагая формулу справедливой для докажем ее справедливость для

Действительно,

Как следствие этой формулы и результатов, полученных ранее для разделенных разностей, получаем:

Следствие 3. Конечные разности порядка от многочлена степени постоянны, а конечные разности порядка равны нулю.

Последнее свойство позволяет дать простой способ составления таблиц многочленов. Непосредственно вычисляем значения многочлена для и. значений аргумента. По этим данным составляем таблицу разностей. В нее войдут разности до порядка. Далее, заполняем столбец разностей порядка, пользуясь тем, что они постоянны, затем заполняем столбец разностей порядка. Для их получения складываем соответствующие разности порядка с разностями порядка. Затем последовательно заполняем столбец разностей порядка, порядка и так далее, пока не получим столбец Так, например, полученная нами таблица функции будет продолжаться следующим образом:

(см. скан)

При практическом применении этого приема с целью исключения грубых просчетов целесообразно время от времени производить вычисления многочленов непосредственно. Это обеспечит и от накопления ошибок округления, если мы ведем вычисления не точно, а с каким-то заданным количеством десятичных знаков.

Интересно проследить распространение ошибки, сделанной при вычислении на конечные разности различных порядков. В приведенной ниже таблице это указано в предположении, что ошибка величины сделана при вычислении

(см. скан)

Таким образом, ошибка с коэффициентами распространится на разности порядка При этом максимальные по модулю ошибки будут иметь разности, ближайшие к строке, в которой находится Этот результат можно так же получить из формулы, связывающей конечные разности непосредственно со значениями функции.