§ 8. Формула Эйлера

Формула, к выводу которой мы хотим приступить, имеет самые разнообразные применения: численное интегрирование, суммирование рядов, разложение функций в ряд и т. д. Ее часто называют формулой Эйлера — Маклорена, хотя впервые она была получена Эйлером. Формула Эйлера не связана непосредственно с теорией интерполирования и потребует некоторых сведений о многочленах и числах Бернулли.

1. Числа и многочлены Бернулли.

Рассмотрим функцию

Она может быть разложена в ряд по возрастающим степеням х, равномерно сходящийся при так как ближайшей к началу координат особой точкой этой функции является

Запишем ряд в виде

называются многочленами Бернулли. Что они действительно являются многочленами, мы обнаружим немного позднее. Многочлены Бернулли широко используются в теории чисел. При получим:

где через обозначено Числа называются числами Бернулли. Прежде всего убедимся, что -многочлены, и укажем более удобную, чем (1), формулу для их получения. Умножая обе части равенства (1) на и разлагая и в ряды по степеням х, получим;

Приравнивая коэффициенты при в левой части и в правой, после умножения рядов будем иметь:

или

Отсюда при получаем полагая далее будем последовательно получать все При этом непосредственно видно, что все будут многочленами.

Многочлены Бернулли обладают двумя характеристическими свойствами. Рассмотрим

С одной стороны, эта разность равна

с другой,

Приравнивая коэффициенты при имеем:

Это и есть одно из характеристических свойств Продифференцируем теперь (1) по Получим:

или

Приравнивая опять коэффициенты при будем иметь:

Это — второе характеристическое свойство многочленов Бернулли. Свойства (4) и (5) в свою очередь определяют В самом деле, на основании формулы Тейлора

Используя (5), получим:

Следовательно,

Снова получили (3), однозначно определяющее Рассмотрим еще ряды

Сравнивая (6), (7) с (1) и (2), видим, что если

Изучим свойства и Заменим в на Получим: слева

и справа

Следовательно, все с нечетными индексами равны нулю:

Найдем теперь

Таким образом, для всех

При получим Из (3) следует

Итак,

Положим в Получим:

Следовательно,

Полагая в будем иметь:

Следовательно,

Положим еще в получим:

Заменим здесь х на

Вычитая друг из друга последние два равенства, будем иметь:

Итак,

Покажем теперь, что при нигде не обращается в нуль на отрезке [0, 1] кроме точек а нигде не обращается в нуль, кроме и 1. Из (10) следует

а из Следовательно, для наше утверждение справедливо. будет многочленом третьей степени и в силу (11), (12), (13) обращается в нуль при Других нулей иметь не может и для него утверждение также справедливо. Допустим теперь, что утверждение справедливо для Положим, для определенности, что при Тогда в силу (8), (9), (11) и (12):

Следовательно, имеет максимум при и этот максимум единственный на [0, 1]. не обращается в нуль на [0, 1] и имеет знак где некоторая точка отрезка Далее,

Так как на интервале обращается в нуль только водной точке, то может обращаться в нуль на отрезке [0, 1] только в двух точках, а только в трех точках. Следовательно, являются единственными нулями Так как знак не меняется на отрезке [0, 1], а знак меняется, то имеет знак, противоположный знаку и по абсолютной величине меньше, чем Поэтому нуль при простой. Далее, Следовательно, а поэтому и при близких к нулю, имеет знак противоположный знаку а следовательно и знаку Таким образом, будут иметь чередующиеся по к знаки. Это же будет справедливо и для