2. Метод замены подынтегральной функции интерполяционным многочленом.
Другой путь 
получения формул приближенного вычисления кратных интегралов состоит в замене
подынтегральной функции некоторым интерполяционным многочленом. В главе 2 мы получили много таких формул. Все они имеют вид
Используя (27), получим:
где
Так как функции 
являются многочленами, то вычисление коэффициентов 
для простых областей 
не вызывает затруднений.
Рассмотрим снова случай прямоугольной области. Возьмем какую-то сетку на ней, образованную прямыми:
В главе 2 мы получили следующую интерполяционную формулу, использующую узлы 
где
Интегрирование ее дает
Интегралы
являются коэффициентами формул численного интегрирования для однократных интегралов. Поэтому применение формулы (31) для получения формул приближенного вычисления кратных интегралов эквивалентно повторному интегрированию.
Остаточный член 
интерполяционной формулы (31) имеет вид
Интегрируя его, мы получим остаточный член формулы (33). Оценка последнего может быть произведена использованием тех же рассуждений, которые были применены при выводе формул Ньютона — Котеса. Мы не будем приводить здесь получающихся при этом формул, так как читатель без труда сможет получить их сам.
Можно разбивать отрезки 
не на равные части, как это у нас сделано, а на произвольные. Если опять обозначить точки деления через 
и в качестве узлов в формуле (31) взять точки пересечения прямых 
то снова придем к формуле вида (33). При этом можно пытаться подбирать узлы так, чтобы по возможности упростить формулу. Упрощение понимается по-разному. Можно считать, что формула проста, если ее коэффициенты, абсциссы 
и ординаты 
достаточно удобны для вычислений. Гораздо более важно получать формулы, в которых при заданной точности требуется вычислять значения подынтегральной функции в возможно меньшем количестве точек. При практическом использовании формулы, если в нашем распоряжении имеется хорошая вычислительная техника, вычисление выражения
не встречает затруднений при любых 
Однако если функция 
вычисляется сложно, то экономия даже в одном таком вычислении имеет существенное значение.
Такой экономии можно достичь, например, если взять в качестве 
абсциссы соответствующих квадратурных формул Гаусса для отрезков 
Так, при 
можно получить формулу
где
и
Упрощая, как и при выводе формулы Гаусса, найдем:
Получили формулу, для использования которой требуется вычислить значение подынтегральной функции лишь в четырех точках. Остаточный член этой формулы даже несколько лучше, чем у формулы Симпсона, хотя последняя использует девять значений подынтегральной функции.
В предыдущих рассуждениях мы использовали интерполяционную формулу (31). С таким же успехом можно использовать и другие интерполяционные формулы для функций многих переменных, полученные в предыдущей главе. Мы не будем здесь останавливаться на этом вопросе, так как получение самих формул не вызывает затруднений, а исследование остаточных членов довольно громоздко.
