§ 8. Некоторые другие подходы к выводу формул интерполирования для равных промежутков

1. Диаграмма Фрезера.

В этом параграфе мы кратко изложим некоторые другие способы получения формул интерполирования. Прежде всего дадим способ, предложенный Фрезером. Для

сокращения записей введем символ где натуральное число и произвольное действительное число, понимая его как

Из всех свойств, которыми обладает нам понадобится лишь следующее:

Оно легко получается из определения Действительно,

Умножим полученное тождество на равенство

Получим:

или

Рассмотрим теперь ромбовидную диаграмму, приведенную на. рис. 21.

Рис. 21.

Из последнего равенства следует, что если, исходя из какой-то величины, помещенной в левой вершине ромба, двигаться по его верхним сторонам до правой вершины, прибавляя все встречающиеся по пути величины, то мы получим такой же результат, какой получится, если, исходя из той же величины, двигаться по нижним сторонам ромба, прибавляя все встречающиеся по пути величины.

Далее, если мы проведем диагональ ромба, соединяющую левую и правую вершины, и, продвигаясь по ней, будем брать полусуммы

чисел, стоящих непосредственно над и под ней, то, очевидно, получим такой же результат. Так, для построенного выше ромба мы получим на этом диагональном пути следующее выражение:

Составим теперь из таких элементарных ромбов сетку на плоскости.

Рис. 22. Диаграмма Фрезера.

В каждой вершине поместим разность с соответствующим коэффициентом так, чтобы эти разности располагались так же, как и в таблице разностей. К разности возьмем в качестве коэффициентов Получится ромбическая диаграмма, которую мы назовем диаграммой Фрезера.

Рассмотрим теперь произвольный путь, идущий слева направо от по сторонам ромбической диаграммы. Используя последовательно проведенные нами рассуждения для одного ромба, мы получим следующий результат: любой путь, идущий от направо по сторонам ромбов или их горизонтальным диагоналям и приходящий в ту же конечную точку, даст такую же сумму, что и первый

Построим диаграмму Фрезера для некоторого многочлена, хотя бы многочлена Лагранжа для некоторой функции Разности, начиная с некоторого порядка, обращаются в нули. Отсюда следует, что любые два пути, начинающиеся с и продолженные до столбца постоянных разностей, дадут одинаковые суммы, так как их всегда можно свести в одну точку по столбцам с нулевыми разностями. Более того, учитывая, что имеет место соотношение

мы можем использовать любые пути, начинающиеся в и заканчивающиеся на постоянных разностях, и получать тот же результат, а отсюда следует, что на любом пути, идущем от произвольного до постоянных разностей, мы получим один и тот же результат.

Путь, идущий от по диагонали вниз, даст нам

Эта сумма по формуле Ньютона для интерполирования вперед равна

Рис. 23.

Таким образом, выбирая произвольным образом начальное значение и путь, заканчивающийся на постоянных разностях, складывая все встречающиеся на пути величины, мы также получим Этим способом можно получить громадное количество самых различных формул.

Формула Гаусса для интерполирования вперед получится, если взять за начальную точку и избрать зигзагообразный путь, имеющий вид, приведенный на рис. 23. Мы получим формулу Стирлинга, если пойдем от по горизонтали направо; формулу

Бесселя можно получить, если двигаться вдоль строки с индексом