§ 13. Схема Рунге вычисления коэффициентов ... в случае ...
Значения 
входящие в формулы Бесселя, будут совпадать или различаться лишь знаком даже при различных значениях 
Этим часто пользуются, чтобы создать различные удобные вычислительные схемы. Одну из таких схем мы и рассмотрим
в этом параграфе. Как уже указано в заголовке, берем 
. В этом случае 
Будем разыскивать многочлен в виде
Для коэффициентов 
многочлена наилучшего приближения мы имеем следующие формулы:
Выражения для 
мы не имели. Получим его. Для отыскания 
мы имеем уравнение
Так как 
то 
Следовательно,
Займемся упрощением сумм, входящих в выражения для коэффициентов. Для этого заметим, что
Следовательно, в суммах можно объединить члены, равноудаленные от концов. Вводя обозначения:
можно выражения для коэффициентов переписать следующим образом:
Далее, для четных значений 
имеем:
а для нечетных значений 
:
Таким образом, можно снова объединить члены, равноотстоящие от концов. Если ввести обозначения
то формулы можно записать в таком виде:
Вычисления сумм и разностей удобно располагать следующим образом:
А Случай 12 ординат.
В этом случае будем иметь:
Дальнейшие вычисления удобно производить по схеме:
(см. скан)
(см. скан)
При вычислениях по этой схеме нужно выполнить умножение величин, стоящих в столбцах, на синусы углов, стоящих в соответствующих строках, и найти суммы произведений по столбцам. Далее, составляя суммы 
и разности 
найдем коэффициент 
умноженные на указанные в таблице множители. 
Случай 24 ординат.
Дальнейшие вычисления можно расположить по схеме, приведенной на следующей странице. Порядок вычислений по этой схеме такой же, как и в случае 12 ординат.
Имеется ряд других схем для вычисления коэффициентов по формулам Бесселя. Широкое применение находят наборы шаблонов, например шаблоны Лопшица. Разработаны и разнообразные графические методы гармонического анализа кривых, а также существуют разнообразные конструкции особых приборов — гармонических анализаторов.
Подробно о методах гармонического анализа можно прочесть в монографии 
. Серебрянникова «Гармонический анализ».
