§ 5. Интерполяционная формула Ньютона для неравных промежутков

Вернемся снова к интерполированию при помощи алгебраических многочленов. В этом параграфе мы получим формулу Ньютона, являющуюся видоизменением формулы Лагранжа. Она интересна сама по себе и послужит нам источником получения ряда новых формул.

1. Разделенные разности и их свойства.

Предварительно введем новое понятие — разделенные разности. Возьмем некоторую функцию и систему узлов интерполяции при Для этой функции и узлов образуем всевозможные отношения

Такие отношения называют разделенными разностями первого порядка. Получив разделенные разности первого порядка, мы можем образовать отношения

Эти отношения называют разделенными разностями второго порядка. Вообще, если мы уже определили разделенные разности порядка , то разделенные разности порядка находятся при помощи формулы

Иногда вместо Для обозначения разделенных разностей используют выражение Условимся располагать таблицу разделенных разностей следующим образом:

Так, для эта таблица примет следующий вид:

(см. скан)

Нам потребуется использовать некоторые свойства разделенных разностей.

Прежде всего докажем, что разделенная разность порядка равна

Доказательство будем вести по индукции. Для это утверждение справедливо, так как

Предположим, что оно справедливо для и докажем его справедливость для В самом деле,

В полученном выражении встречаются по одному

разу и притом в виде

т. е. так, как они должны входить в доказываемое равенство (4). Все остальные входят дважды. Объединяя эти члены попарно, получим:

что нам и требуется.

Из доказанного вытекает ряд следствий.

Следствие 1. Разделенная разность суммы или разности функций равна сумме или разности разделенных разностей слагаемых, соответственно уменьшаемого и вычитаемого.

Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак разделенной разности.

Следствие 3. Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов, т. е.

Разделенные разности обладают еще одним свойством, а именно: разделенные разности порядка от являются однородными многочленами относительно своих аргументов степени при равны 1 и при равны 0. Докажем это. Для разностей первого порядка имеем:

Далее, если

для любых , то

Таким образом, и это свойство доказано. На основании его и следствий 1 и 2 заключаем, что разделенные разности порядка от многочлена степени постоянны, а разности более высокого порядка равны нулю. Последним замечанием можно пользоваться для обнаружения ошибок в таблицах многочленов или функций, близких к ним.