2. Вывод интерполяционных формул Ньютона.

Перейдем теперь к выводу интерполяционных формул Ньютона. Для этого рассмотрим формулу Ньютона для неравных промежутков, взяв в ней в качестве узлов интерполирования точки

При этом, заменяя разделечные разности их выражениями через конечные разности, получим:

Обозначим тогда наша формула примет вид

Полученную формулу называют интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования вперед. Использованные в ней разности расположены по диагонали вниз, начиная с

(см. скан)

Приведем пример на вычисление по интерполяционной формуле Ньютона для интерполирования вперед. Пусть нам даны и требуется найти Таблица разностей будет выглядеть так:

(см. скан)

При написании разностей ради сокращения мы вносили в таблицу лишь значащие цифры; такой способ записи таблиц конечных разностей является общепринятым.

Изучая таблицу, обнаруживаем, что третьи разности почти постоянны, а разности четвертого и следующих порядков меняются неправильно. Это в значительной мере объясняется тем, что мы использовали приближенные значения Ошибка каждого из них может достигать пяти единиц седьмого десятичного знака. Следовательно, абсолютная погрешность первых разностей может достигать единицы шестого знака, вторых — двух единиц шестого знака, третьих — четырех, а четвертых — восьми. Погрешность в четвертых разностях может превышать их величину. Поэтому в дальнейших вычислениях мы будем использовать только третьи разности.

За возьмем одно из ближайших значений к а именно возьмем Тогда и вычисления примут следующий вид:

Точное значение с шестью верными десятичными знаками равно 0,104528. Таким образом, все знаки получились верными.

В процессе вычислений мы сохраняли седьмой десятичный знак. В окончательном ответе мы его округлили.

Выведем еще одну интерполяционную формулу Ньютона. Опять будем использовать интерполяционную формулу Ньютона для неравных промежутков, но теперь за узлы возьмем точки При этом получим:

Но в силу симметрии разделенных разностей относительно своих

аргументов будем иметь:

Снова заменим разделенные разности конечными

Отсюда

Заменяя, как и прежде, на получим:

Это есть интерполяционная формула Ньютона для интерполирования назад. В ней используются разности, идущие по диагонали вверх, как это показано в таблице:

(см. скан)

Приведем вычислительный пример на использование формулы Ньютона для интерполирования назад. По тем же данным, что и в предыдущем примере, найдем За в этом случае

возьмем 15°. Тогда и вычисления дадут:

Опять ответ получился с шестыо верными десятичными знаками.

Мы получили две новые формулы интерполирования и несколько позже получим еще ряд таких формул. Но нужно твердо помнить, что каждая из них является другой формой записи интерполяционного многочлена Лагранжа. Поэтому, если отвлечься от различия в обозначениях и в форме записи, все эти формулы тождественны. При этом, конечно, предполагается, что в них использованы одни и те же узлы интерполирования. Однако специалисты-вычислители применяют в различных случаях разные формулы. Дело связано с тем, что обычно бывает удобнее вести вычисления, ели при интерполировании сначала используются ближайшие к х узлы, а затем постепенно подключаются все более удаленные. При этом первые члены интерполяционных формул дадут основной вклад в искомую величину, а остальные будут давать лишь небольшие поправки. В этом случае легче избежать просчетов, легче установить, на какой разности следует закончить вычисления. Чаще всего интерполяционные формулы для равных промежутков применяют для значений не выходящих за пределы промежутка Но так как в различных интерполяционных формулах имеют различный смысл, то разные интерполяционные формулы будут использовать разные участки изменения х в интерполяционной формуле Лагранжа. В § 3 мы видели, что точность интерполирования на разных участках изменения х разная. В этом смысле мы можем сравнивать по точности различные интерполяционные формулы.