1. Метод Рунге приближенной оценки погрешности численного интегрирования.

При пользовании любой приближенной формулой важно иметь представление о ее точности. В этой главе для каждой из полученных формул мы дали выражения остаточных

членов. Однако эти остаточные члены содержат производные высоких порядков, которые в большинстве практических случаев или не могут быть оценены или могут быть оценены очень грубо, так что фактическая погрешность будет значительно меньше, чем полученная ее оценка. Поэтому на практике часто прибегают к следующему приему грубой оценки погрешностей формул численного интегрирования, предложенному Рунге. Остаточный член каждой из формул численного интегрирования может быть записан в виде

где длина отрезка интегрирования или какой-то его доли, фиксированное число и произведение постоянной на производную подынтегральной функции порядка в какой-то точке промежутка интегрирования. Если точное значение интеграла, а приближенное его значение, то

Вычислим тот же самый интеграл, по той формуле численного интегрирования, но взяв вместо величину у. При этом, чтобы получить значение интеграла по всему отрезку, придется применять формулу численного интегрирования дважды. Обозначим сумму полученных результатов через Тогда

Последние два члена правой части дают погрешности при каждом интегрировании. Будем предполагать, что производная, входящая в меняется не сильно на рассматриваемом промежутке. Тогда мы можем приближенно считать

Исключая из (3) и (5) точное значение интеграла найдем:

Такой процесс часто употребляют для отыскания погрешностей формул не только при численном интегрировании.

Разработано очень много различных графических способов вычисления интегралов. Нужно сказать, что все они очень грубы и требуют сравнительно большой работы. Поэтому их можно рекомендовать лишь в исключительных случаях, когда интегрирование должно быть произведено в процессе других графических работ. Мы не будем здесь останавливаться на способах графического интегрирования.

Для приближенного интегрирования можно использовать специальные приборы: планиметры и интеграфы. На рис. 24 и 27 приведен общий вид этих приборов. Приемы работы на этих приборах достаточно хорошо описаны в прилагаемых к ним инструкциях.

Рис. 27. Планиметр.

2. Замечание о вычислении интегралов с переменным верхним пределом.

Вычисление интегралов с переменным верхним пределом можно производить по тем же формулам, что и для определенных интегралов. При этом верхнему пределу придают определенные значения и последовательно находят нужные интегралы.

В главе 9 будут приведены многочисленные формулы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Все они пригодны для вычисления неопределенных интегралов.