3. Построение интерполирующей функции.

Займемся сначала простейшей задачей. Для определения коэффициентов мы имеем систему уравнений с неизвестными. Матрица системы имеет вид

Если мы хотим, чтобы коэффициенты а, можно было подобрать для любой функции то нужно потребовать, чтобы ранг этой матрицы был равен В противном случае между значениями

должна была бы существовать определенная линейная зависимость. При этом будет больше или равно Далее, чтобы решение этой задачи было однозначным, надо потребовать, чтобы Итак, будем предполагать, что и определитель

отличен от нуля. Тогда при любых система будет иметь решение и притом единственное. Выражение для можно представить в виде

где получается из путем замены столбца столбцом Итак, функции будет соответствовать функция имеющая вид

Функцию можно записать в другой форме. Для этого разложим определитель по элементам столбца. Получим:

Здесь — соответствующие алгебраические дополнения. Подставляя эти выражения в и собирая вместе члены с одинаковыми будем иметь:

Функции являются линейными комбинациями функций Они не зависят от функции и целиком определяются функциями и узлами интерполирования. Заметим, что при любой функции т. е. при любой системе значений должны выполняться равенства

Отсюда следует, что функции удовлетворяют условиям: