§ 9. Формулы численного интегрирования, содержащие разности подынтегральной функции

1. Формула Грегори.

Перейдем теперь к изучению формул численного интегрирования, содержащих разности подынтегральной функции. Пусть нам задана функция в точках

Составим таблицу разностей:

(см. скан)

Представим на интервале при помощи формулы Ньютона для интерполирования вперед:

где

Интегрируя обе части равенства по интервалу изменения х от а до и деля на получим:

Нам часто будут встречаться интегралы

Поэтому для сокращения записей будем обозначать их через Положив будем иметь:

Перейдем теперь к интервалу Если мы возьмем за начальное значение то уже нельзя будет воспользоваться формулой Ньютона, если мы хотим дойти до разностей порядка, так как отсутствует в нашей таблице. Поэтому мы воспользуемся диаграммой Фрезера и выберем путь, идущий от по диагонали вниз до и затем по диагонали вверх до (В таблице он показан сплошной линией.) Соответствующая формула будет иметь вид

где

Интегрируя по интервалу изменения х от а до и деля на получим:

Для интервала выбираем путь, начинающийся с и идущий по диагонали вниз до разностей порядка и далее по диагонали вверх. Соответствующая формула после интегрирования будет иметь вид

Продолжим этот процесс далее. Для последнего интервала получим:

Сложим теперь все полученные интегралы. В левой части будем иметь:

Первые слагаемые справа дадут в сумме

Вторые слагаемые дадут

Но Складывая последнюю сумму и предыдущую, получим:

При сложении членов с вторыми разностями не будем учитывать вклада от последнего интеграла, при сложении членов с третьими разностями не будем учитывать вкладов последних двух интегралов и т. д. Тогда сумма остальных членов с разностями даст

Соберем теперь оставшиеся члены с разностями. Они дадут

Если обозначить через произведение то последнее выражение можно записать в виде

или если заменить во втором интеграле на в третьем на то квадратная скобка примет вид

Если нечетное число, то в силу показанной ранее симметрии функции относительно середины интервала это выражение будет равно нулю. Пусть теперь четное. Тогда Но

Первый интеграл равен Во втором произведем замену

Тогда он примет вид

Последний интеграл равен нулю, так как и область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно точки Таким образом,

или

Если теперь использовать найденные нами значения и прибавить их к соответствующим, ранее найденным членам, то получим, что коэффициенты при разностях нечетного порядка не изменятся, а члены четного порядка примут следующий вид:

Это будет иметь место до разностей порядка Если нечетное число, то и последний член пропадает. Если же четное, то разности порядка будут умножены на Мы получили формулу Грегори:

Остаточный член этой формулы будет такой же, как и у формулы Ньютона — Котеса замкнутого типа с таким же Да и сама эта формула является преобразованной формулой Ньютона-Котеса, так как на каждом отрезке мы интегрировали интерполяционный

многочлен, построенный по узлам Конечно, это верно лишь в том случае, когда при использовании формулы Грегори мы доходим до разностей порядка

Коэффициенты можно определить при помощи интегрирования. Еще проще их отыскивать, если воспользоваться разложением

Интегрируя обе части равенства по в пределах от получим:

Приравнивая в последнем равенстве коэффициенты при одинаковых Степенях у, будем иметь:

Это рекуррентное соотношение позволяет последовательно находить все Первые восемь значений таковы:

Формулу Грегори можно было бы получить из формулы Эйлера, если заменить входящие туда производные их выражениями через разности.

Нужно заметить, что работа по составлению таблицы разностей для использования ее в формуле Грегори не может считаться излишней, так как она позволяет обнаружить ошибки при вычислении в точках