§ 12. Приближенное вычисление кратных интегралов
1. Метод повторного применения квадратурных формул.
Как известно из анализа, вычисление кратных интегралов может быть осуществлено путем повторного вычисления однократных интегралов. Поэтому одним из простейших путей получения формул для приближенного вычисления кратных интегралов является повторное применение полученных нами формул численного интегрирования однократных интегралов. Проиллюстрируем это на примере вычисления двойного интеграла
где область 
представляет собой прямоугольник 
. Интеграл (1) можно записать в виде
Применим формулу Симпсона для вычисления внешнего интеграла. Это даст
Каждый из интегралов внутри квадратной скобки будем также вычислять по формулам численного интегрирования. Применим,
(кликните для просмотра скана)
(кликните для просмотра скана)
Это выражение теми же рассуждениями, что и в главе 2, можно привести к виду
Таким способом можно получить и другие формулы для приближенного вычисления кратных интегралов. При этом можно брать разные формулы численного интегрирования для вычисления внутреннего и внешнего интегралов. Можно также при повторном применении формул численного интегрирования для разных интегралов брать разные формулы.
Рис. 28.
Если область интегрирования не является прямоугольником со сторонами, параллельными осями координат, или если стороны прямоугольника очень велики, то целесообразно разбить область интегрирования на частичные области, одни из которых являются нужными прямоугольниками, а интегоалами по другим можно пренебречь. Пример такого возможного разбиения приведен на рис. 28. Частичные области, которые нужно отбросить, на рисунке заштрихованы.
В некоторых случаях такой процесс становится невыгодным, так как приводит к большим вычислениям и большим погрешностям. Тогда можно разбить область интегрирования на несколько областей вида
где 
заданные кривые. Интеграл по области (18) можно записать так:
К нему можно применить те же рассуждения, что и к интегралу по прямоугольной области. Обозначим
Применяем для вычисления интеграла
некоторую формулу численного интегрирования. Получим:
Для вычисления каждого из интегралов
применяем свою формулу численного интегрирования
В результате будем иметь:
Варьируя различные формулы численного интегрирования, можно получить различные формулы типа (25). Аналогичный прием можно применять и в том случае, когда частичные области записываются в виде
Все приведенные выше рассуждения можно перенести на 
-кратные интегралы при 
Нужно заметить, что данный нами способ обычно приводит к таким формулам для приближенного вычисления кратных интегралов, для применения которых требуется вычислить подынтегральную функцию в значительном числе точек. Так, если область прямоугольная и при первом интегрировании используется формула с 
ординатами, а при втором — с 
ординатами, то нам придется вычислять подынтегральную функцию в 
точках. В связи с этим, чтобы не уменьшать точность и не увеличивать число точек, для которых нужно подсчитывать подынтегральную функцию, целесообразно использовать наиболее точные квадратурные формулы, такие, например, как формулы Гаусса и Чебышева.
