2. Формула Эйлера и примеры ее применения.

После этих предварительных рассуждений перейдем к выводу формулы Эйлера. Рассмотрим

где некоторая, достаточное число раз дифференцируемая функция. Произведем замену переменных, положив Тогда наш интеграл будет равен

где . К последнему интегралу применим правило интегрирования по частям:

Первые два члена здесь дают формулу численного интегрирования трапеций, последний член — поправку к ней. Воспользуемся теперь формулами (9), (10) и свойствами для преобразования

последнего члена. Снова, интегрируя по частям, получим:

В последнем интеграле можно заменить на и еще раз повторить интегрирование по частям. При этом добавится член

а вместо последнего интеграла будем иметь:

Повторив наши операции раз, получим:

где можно записать в двух видах:

Возвратимся к старым переменным и выразим через числа Бернулли. Будем иметь:

где

Если применить последнюю формулу к отрезкам

и сложить полученные выражения, то и получим формулу Эйлера

где

Остаточный член можно записать в другой форме, если воспользоваться тем, что не меняет знака на отрезке [0, 1]. Тогда

где - некоторая точка промежутка Но по

Следовательно,

Поэтому остаточный член можно записать в форме

В некоторых случаях об остаточном члене можно судить по самим вычислениям по формуле Эйлера. Так, пусть все производные нечетного порядка функции имеют одинаковые постоянные знаки на рассматриваемом отрезке и монотонны там, например монотонно возрастающие. Тогда на основании второй теоремы о среднем из первого выражения (15) получим, что знак будет определяться знаком

которые будут чередоваться вместе с Таким образом, остаточные члены будут иметь чередующиеся знаки и истинное значение интеграла будет заключено между суммой членов формулы Эйлера.

Для удобства пользования формулой Эйлера приведем значения чисел Бернулли и выражения многочленов Бернулли для некоторых значений :

(см. скан)

Рассмотрим, как ведут себя числа Бернулли для больших значений Для этого воспользуемся известным разложением

Положим

Разложим в ряд по степеням х. Будем иметь:

Отсюда

Таким образом,

стремится при Поэтому стремится к бесконечности с возрастанием

Дадим примеры различных приложений формулы Эйлера.

Пример. Вычислить с помощью формулы Эйлера интеграл

Здесь

Вычисления дают:

Здесь как раз было применимо замечание, сделанное относительно оценки остаточного члена, когда производные нечетного порядка функции знакопостоянны и монотонны.

Пример. Вычислить сумму где целое положительное число.

Положим в формуле Эйлера Тогда

Здесь ряд обязательно оборвется на каком-то шаге, так как производные с некоторого порядка будут равны нулю. Отсюда

Так, для получим следующие выражения:

Пример. Вычислить сумму ряда

В формуле Эйлера положим Тогда

Вычисления дают

Пример. Используя формулу Эйлера, разложить в ряд по степеням х функцию .

В формуле Эйлера полагаем

Тогда

Отсюда

Деля на и перенося в левую сторону, получим:

Это и есть искомое разложение. Необходимо только исследовать остаточный член. Для нашего случая

Следовательно,

Воспользуемся выражением для полученным ранее

Следовательно,

Таким образом, при остаточный член стремится к нулю.

В заключение дадим вывод формулы Стирлинга асимптотического представления Для этого в формуле Эйлера положим Тогда

Отсюда

где С — некоторая постоянная. Для ее определения воспользуемся формулой Валлиса:

Логарифмируя ее, получим:

Следовательно,

Таким образом, окончательно получаем:

Это и есть формула Стирлинга.