§ 12. Интерполирование функций многих независимых переменных

1. Трудности задачи интерполирования функций многих переменных.

Интерполирование функций многих переменных значительно сложнее, чем функций одной переменной. Это вызвано не только тем, что рассуждения становятся более громоздкими в силу наличия большого числа переменных, но и рядом принципиальных трудностей.

В дальнейшем ради краткости мы ограничимся случаем двух переменных. Пусть на плоскости даны точек Будем разыскивать многочлен

относительно х и у возможно низшей степени, который бы в этих точках принимал соответственно значения Если искомый многочлен записать в виде

то, подставляя данные координаты точек и приравнивая левую часть соответствующему значению получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Вообще говоря, эти уравнения независимы. Следовательно, если не накладывать на Р(х, у) никаких дополнительных условий, то должно быть равно первое принципиальное затруднение. Мы уже не можем решить поставленную задачу при произвольном количестве узлов интерполирования.

Далее, рассмотрим определитель полученной системы уравнений. При этот определитель принимает вид

Первый из них будет обращаться в нуль, если три точки лежат на одной прямой. Второй будет обращаться в нуль, если шесть узлов интерполирования лежат на одной кривой второгочпорядка. Аналогично, если взять 10 узлов, то определитель системы обратится в нуль, если все они лежат на одной кривой третьего порядка. Это порождает второе принципиальное затруднение: узлы интерполирования не могут быть расположены произвольно. Проверка того, что определители не обращаются в нуль, чрезвычайно затруднительна.

Третье принципиальное затруднение возникает при оценке остаточных членов. Теорема Ролля, которой мы пользовались ранее, для того случая, который мы рассматриваем сейчас, действовать не будет.

Формулы интерполирования функции двух переменных будут громоздкими и потребуют большого количества записей. С целью

сокращения этих записей будем использовать векторные обозначения. Мы будем пользоваться следующими векторами:

Вектор получается из вектора путем поворота на 90° по часовой стрелке.

Пусть теперь заданы три узла интерполирования: и нам требуется найти многочлен первой степени, принимающий соответственно в этих узлах значения Будем разыскивать, как и в случае интерполирования функций одной переменной, многочлен в виде

где - многочлены первой степени, равные единице в точке и обращающиеся в нуль в остальных двух точках. Рассмотрим скалярное произведение Это — многочлен первой степени относительно х и у. Он обращается в нуль в точке так как при этом первый множитель скалярного произведения обращается в нуль. Он обращается в нуль и в точке так как вектор перпендикулярен к В точке будет равно нулю в том и только в том случае, когда три точки лежат на одной прямой. Но это и будет как раз тот случай, когда определитель обращается в нуль и, вообще говоря, не существует многочлена первой степени, принимающего в заданных точках заданные значения. Исключая этот случай, мы можем принять за выражение

Аналогично

будут давать и Итак, искомый многочлен может быть записан в виде

Если раскрыть скалярные произведения, то получим более громоздкое выражение:

Возьмем теперь шесть точек не лежащих на одной кривой второго порядка. Будем разыскивать многочлен второй степени, принимающий в этих точках соответственно значения Для этого построим определитель второго порядка:

Этот определитель является многочленом второй степени относительно х и у. Он обращается в нуль в точках так как при этом обращаются в нуль элементы первого столбца. Он обращается в нуль и в точке так как при этом первый и второй столбцы совпадают. Нужно еще убедиться, что наш определитель не обращается тождественно в нуль. Прежде всего заметим, что второй столбец в нуль не обращается. Действительно, если бы он обращался в нуль, то из выбранных нами шести точек по крайней мере четыре лежали на одной прямой. Но в этом случае все шесть выбранных нами точек лежали бы на одной кривой второго порядка, распадающейся на две прямые, одна из которых проходит через четыре указанные точки, а вторая — через две остальные. Если бы наш определитель тождественно обращался в нуль, то нашлись бы две постоянные такие, что

Это невозможно. Тождественное обращение в нуль этого выражения будет только в том случае, если четыре точки лежат на одной прямой. Поделив наш определитель (5) на

получим многочлен второй степени относительно х и у, обращающийся в нуль в точках и равный единице в точке Аналогично можно построить многочлены второй

степени, равные единице в каждой из точек и обращающийся в нуль в остальных заданных точках. Тогда, так же как и в предыдущем случае, строим многочлен . Он может быть записан в виде

(см. скан)

Получилось очень громоздкое выражение. Оно станет еще более громоздким, если расписать все определители и скалярные произведения.

Идя по этому пути, можно написать явные выражения интерполяционных многочленов третьей и более высоких степеней. Мы здесь этого делать не будем, а рассмотрим один частный случай расположения узлов.