4. Многочлены Лагерра и Эрмита.

Возьмем теперь в качестве интервала полупрямую и в качестве веса

где Многочленами Лагерра называют выражения

Что это действительно многочлены, нетрудно убедиться, если применить формулу Лейбница для дифференцирования к

Старший коэффициент в этом случае всегда равен 1.

Покажем, что многочлены Лагерра ортогональны с весом на полупрямой Для этого рассмотрим интеграл

где через обозначено

Пусть Интегрируем раз по частям. Получим:

Если то, интегрируя еще один раз по частям, получим под знаком интеграла в качестве множителя и так как многочлен степени то При будем иметь:

так как старший коэффициент равен 1. Итак,

Если разлагается в ряд по многочленам Лагерра, то

где

Дифференциальное уравнение для многочленов Лагерра примет

Рекуррентная формула в данном случае будет выглядеть так:

Иногда многочленами Лагерра называют частный случай рассмотренных нами многочленов при

Если весовая функция и мы рассматриваем приближения на всей действительной оси, то ортогональную систему образуют многочлены Эрмита

которые несложно выписать. Первые многочлены Эрмита имеют вид

Проверим их ортогональность и вычислим их норму. Имеем:

Интегрируя по частям, получим:

Если

Так как тип равноправны, то это имеет место при всех При и

Отсюда

Для многочленов Эрмита имеет место рекуррентное соотношение

которое нетрудно проверить непосредственно.

Они удовлетворяют дифференциальному уравнению

Коэффициенты многочлена наилучшего квадратичного приближения с весом к функции среди многочленов степени не выше если его записать в виде

вычисляются по формулам:

При этом лучше всего учитываются значения в окрестности точки так как вес в этой окрестности имеет максимальное значение.

Пример. Приблизить функцию помощью многочлена степени не выше 5-й, наилучшим образом учитывающего значения функции вблизи начала координат. Будем искать этот многочлен в виде

Коэффициенты его вычисляем по указанным выше формулам (45). Будем иметь:

Таким образом,

Ниже для сравнения приведена таблица значений в некоторых точках:

(см. скан)

Если в качестве приближающего многочлена взять сумму трех первых членов степенного ряда для функции то для значений х между нулем и единицей эта сумма даст лучшее приближение к заданной функции, но при она будет отличаться от точного значения уже на —0,4365, а при на —11,1198, т. е. при приближение отрезком степенного ряда будет в пять раз хуже приближения с помощью нашего многочлена.