4. Многочлены Лагерра и Эрмита.
Возьмем теперь в качестве интервала 
полупрямую 
и в качестве веса
где 
Многочленами Лагерра называют выражения
Что это действительно многочлены, нетрудно убедиться, если применить формулу Лейбница для дифференцирования к
Старший коэффициент в этом случае всегда равен 1.
Покажем, что многочлены Лагерра ортогональны с весом 
на полупрямой 
Для этого рассмотрим интеграл
где через 
обозначено
Пусть 
Интегрируем 
раз по частям. Получим:
Если 
то, интегрируя еще один раз по частям, получим под знаком интеграла в качестве множителя 
и так как 
многочлен степени 
то 
При 
будем иметь:
так как старший коэффициент 
равен 1. Итак,
Если 
разлагается в ряд по многочленам Лагерра, то
где
Дифференциальное уравнение для многочленов Лагерра примет
Рекуррентная формула в данном случае будет выглядеть так:
Иногда многочленами Лагерра называют частный случай рассмотренных нами многочленов при 
Если весовая функция 
и мы рассматриваем приближения 
на всей действительной оси, то ортогональную систему образуют многочлены Эрмита
которые несложно выписать. Первые многочлены Эрмита имеют вид
Проверим их ортогональность и вычислим их норму. Имеем:
Интегрируя по частям, получим:
Если
Так как тип равноправны, то это имеет место при всех 
При 
и
Отсюда
Для многочленов Эрмита имеет место рекуррентное соотношение
которое нетрудно проверить непосредственно.
Они удовлетворяют дифференциальному уравнению
Коэффициенты многочлена наилучшего квадратичного приближения с весом 
к функции 
среди многочленов степени не выше 
если его записать в виде
вычисляются по формулам:
При этом лучше всего учитываются значения 
в окрестности точки 
так как вес в этой окрестности имеет максимальное значение.
Пример. Приблизить функцию 
помощью многочлена степени не выше 5-й, наилучшим образом учитывающего значения функции вблизи начала координат. Будем искать этот многочлен в виде
Коэффициенты его вычисляем по указанным выше формулам (45). Будем иметь:
Таким образом,
Ниже для сравнения приведена таблица значений 
в некоторых точках:
(см. скан)
Если в качестве приближающего многочлена взять сумму трех первых членов степенного ряда для функции 
то для значений х между нулем и единицей эта сумма даст лучшее приближение к заданной функции, но при 
она будет отличаться от точного значения уже на —0,4365, а при 
на —11,1198, т. е. при 
приближение отрезком степенного ряда будет в пять раз хуже приближения с помощью нашего многочлена.
