§ 3. Задача численного интегрирования

Если для функции определенной на отрезке можно найти примитивную то определенный интеграл можно вычислить по формуле

Но, как правило, найти примитивную через элементарные функции не удается. Поэтому приходится прибегать к приближенному вычислению интеграла.

Хотя из определения интеграла и следует, что с помощью интегральной суммы можно найти интеграл с любой степенью точности, но этот прием замены интеграла интегральной суммой практически мало пригоден из-за медленной сходимости

Для построения формул приближенного вычисления интегралов используем замену функции интерполирующей функцией Изложим общую идею построения таких формул, обобщив несколько постановку задачи, введя еще весовую функцию.

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

Здесь некоторая фиксированная функция, удовлетворяющая условию на Ее называют весовой функцией. Представляем в виде

где - интерполяционный многочлен, —остаточный член. Тогда

Первый член справа будет давать формулу численного интегрирования, а второй — остаточный член этой формулы. Интерполяционный многочлен можно представить в виде

Будем предполагать, что интегралы

мы умеем вычислять точно. Они не зависят от функции Поэтому их можно вычислить раз и навсегда и использовать для вычисления интегралов

при произвольных Сама формула численного интегрирования будет иметь вид

При численном интегрировании (а также и при численном дифференцировании) можно использовать интерполяционные формулы с кратными узлами. Тогда формула численного интегрирования примет вид

Специальным выбором узлов иногда удается добиться того, что часть коэффициентов обратится в нуль. Мы не будем пока входить в подробности этого случая и ограничимся формулами вида

Остаточный член этой формулы обращается в нуль, если в качестве взять любую из функций Учитывая последнее замечание, мы можем встретиться со случаем когда он обратится в нуль и для некоторых других функций таких, что

на Тогда, согласно второй главе (см. (3) § 5 гл. 2), запишем в виде

Умножим обе части равенства на и проинтегрируем в пределах от а до Получим:

Но

Поэтому

Итак,

Первый член справа даст приближенное значение интеграла, а остальные — остаточный член. Остаточный член может также быть записан в виде:

Полусумма двух представлений остаточных членов даст нам

где

На этом мы закончим изложение общих методов численного интегрирования и перейдем к более подробному изучению формул, получающихся при использовании интерполирования алгебраическими многочленами.